Законы Кирхгофа в матричной форме

Для записи законов Кирхгофа в матричной форме необходимо составить топологические графы и топологические матрицы схемы.

Допустим, имеется электрическая цепь, приведенная на рисунке 2.9.

Представленная электрическая цепь, состоит из шести ветвей (1 - 2, 1- 4, 1 - 3, 4 - 2, 3 - 4, 2 - 3), четырех узлов (1, 2, 3, 4) и трех главных сечений S₁, S₂, S₃. Граф схемы представлен на рисунке 2.10.

Ветвями дерева приняты ветви 2,5,4. Ветви связи (1,3,6) обозначены на схеме пунктирными линиями.

Рисунок 2.9 – Электрическая цепь постоянного тока

Матрица соединений (узловая матрица) Апредставляет собой таблицу коэффициентов независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для узлов. Строки i матрицы соответствуют узлам (их число равно ), столбцы j – ветвям (их число равно в). Элемент матрицы , если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена от данного узла. Элемент матрицы , если ветвь j графа соединена с узлом i и направлена к данному узлу. Элемент матрицы , если ветвь j не присоединена к узлу i.

Рисунок 2.10 – Граф исходной схемы

Например, для электрической цепи, приведенной на рисунке 2.9 и ее графа (рис. 2.10), матрица соединений для первых трех узлов будет иметь вид

.

Так как матрица определяет, какие ветви присоединены к каждому узлу и как направлены токи в этих ветвях, то произведение матрицы соединении на матрицу-столбец токов ветвей дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, и, следовательно, равна нулю. Т.е., первый закон Кирхгофа в матричной форме имеет вид .

Под сечением понимают любую замкнутую поверхность, рассекающую схему электрической цепи на две части: внешнюю по отношению к поверхности и внутреннюю. Его изображают в виде следа замкнутой поверхности, охватывающей часть схемы, включающей один или несколько узлов.

Например, для графа электрической цепи, приведенного на рисунке 2.10, сечение охватывает первую, вторую и третью ветви и узел 1; сечение охватывает вторую, третью, пятую и шестую ветви и узлы 2 и 4; сечение охватывает первую, пятую и шестую ветви и узел 3.

Матрица сечений Q– это таблица коэффициентов, составленных аналогично матрице соединений А. Строки i матрицы соответствуют сечениям (их число равно ), столбцы j – ветвям. Элемент матрицы , если ветвь j содержится в сечении i и направлена согласно с направлением сечения. Элемент матрицы , если ветвь j содержится в сечении i и направлена противоположно направлению сечения. Элемент матрицы , если ветвь j не содержится в сечении i.

Например, для графа электрической цепи, приведенного на рисунке 2.10, при показанных трех главных сечений, матрица сечений имеет вид

.

В матричной форме первый закон Кирхгофа, с использованием матрицы сечений, имеет вид .

Матрица контуров В, представляет собой таблицу коэффициентов независимых уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для независимых контуров. Строки соответствуют контурам (их число равно ), столбцы - ветвям. Элемент матрицы , если ветвь входит в состав контура и ее направление совпадает с направлением обхода контура. Элемент матрицы , если ветвь входит в состав контура и ее направление противоположно направлению обхода контура. Элемент матрицы , если ветвь не входит в состав контура .

Матрица В, составленная для главных контуров, приводит непосредственно к независимой системе уравнений по второму закону Кирхгофа. Например, для графа, изображенного на рисунке 2.10, с контурами, состоящими из ветвей 2-4-3, 5-6-4 и 1-6-3 матрица главных контуров при обходе по направлению движения часовой стрелки

.

Умножив матрицуВна матрицу столбец напряжений ветвей, получим матричное уравнение по второму закону Кирхгофа .

Для схемы (рис.2.9) и ее графа (рис.2.10) после умножения на матрицу-столбец напряжений получим систему трех независимых уравнений вида:

;

;

.

Если схема цепи кроме источников напряжения, содержит и источники тока, то для записи матричных уравнений, рекомендуется преобразование источников тока в источники напряжения.

Пример 2.4. По заданной матрице соединений А восстановить граф схемы. По заданным параметрам ветвей восстановить вид схемы и получить матрицу В. При помощи полученных матриц и параметров ветвей рассчитать токи в ветвях цепи. Составить баланс мощностей.

Матрица соединений

.

Параметры ветвей Е₁ = 110 В, Е₃ = 130 В, Е₅ = 150 В, Е₇ = 130 В, Е₉ = 90 В, r₁ = 10 Ом, r₂ = 20 Ом, r₃ = 12 Ом, r₄ = 14 Ом, r₅ = 20 Ом, r₆ = 20 Ом, r₇ = 15 Ом, r₈ = 12 Ом, r₉ = 16 Ом, r₁₀ = 18 Ом.

1. Осуществляем предварительный анализ матрицы соединений.

1.1. Количество ветвей – , количество узлов – .

1.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи.

Для данной матрицы соединени граф имеет вид, представленный на рисунке 2.11.

Рисунок 2.11 – Граф схемы

1.3. По приведенному графу составляем расчетную схему (направление токов в ветвях совпадает с направлением источников напряжениия). Электрическая схема с параметрами цепи и при данном графе, приведена на рисунке 2.12.

Рисунок 2.12 – Электрическая цепь

1.4. По приведенному на рисунке 2.13 графу, составленному при условии, что напряжения на зажимах каждой из ветвей, совпадает с направлением токов в этих ветвях, восстанавливаем матрицу контуров В.

Рисунок 2.13 – Граф электрической цепи

Для приведенного графа, матрица контуров В имеет вид

.

2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

2.2. По первому закону Кирхгофа.

Произведение матрицы соединении А на матрицу-столбец токов ветвей , дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа

.

Таким образом,

(1 узел);

(2 узел);

(3 узел);

(4 узел);

(5 узел).

2.2. По второму закону Кирхгофа.

Произведение матрицы контуров В на матрицу-столбец напряжений ветвей , дает совокупность левых частей уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа

.

Таким образом,

(I контур);

(II контур);

(III контур);

(IV контур);

(V контур).

3. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:

А, А, А, А, А,

А, А, А, А, А.

4. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и не превышает 0,5%.

Пример 2.5. По заданной матрице контуров В восстановить граф схемы. По заданным параметрам ветвей восстановить вид схемы и получить матрицу соединений А. При помощи полученных матриц и параметров ветвей рассчитать токи в ветвях цепи. Составить баланс мощностей.

Матрица контуров

.

Параметры ветвей Е₁ = 100 В, Е₂ = 50 В, Е₆ = 90 В, Е₈ = 65 В, Е₁₀ = 90 В, r₁ = 10 Ом, r₂ = 15 Ом, r₃ = 12 Ом, r₄ = 12 Ом, r₅ = 20 Ом, r₆ = 9 Ом, r₇ = 8 Ом, r₈ = 12 Ом, r₉ = 16 Ом, r₁₀ = 12 Ом.

1. Осуществляем предварительный анализ матрицы контуров.

1.1. Количество ветвей – , количество контуров – . Количесвтво узлов

1.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи.

Для данной матрицы соединени граф имеет вид, представленный на рисунке 2.14.

Рисунок 2.14 – Граф схемы

1.3. По приведенному графу составляем расчетную схему (направление токов в ветвях совпадает с направлением источников ЭДС). Электрическая схема спараметрами цепи и при данном графе, приведена на рисунке 2.15.

Рисунок 2.15 – Электрическая цепь

1.4. По приведенному на рисунке 2.16 графу, составленному при условии, что напряжения на зажимах каждой из ветвей, совпадает с направлением токов в этих ветвях, восстанавливаем матрицу соединений А.

Рисунок 2.16 – Граф электрической цепи

Для приведенного графа, матрицу соединений Аимеет вид

.

2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

2.3. По первому закону Кирхгофа.

Произведение матрицы соединении А на матрицу-столбец токов ветвей , дает совокупность левых частей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа

.

Таким образом,

(1 узел);

(2 узел);

(3 узел);

(4 узел);

(5 узел).

2.2. По второму закону Кирхгофа.

Произведение матрицы контуров В на матрицу-столбец напряжений ветвей , дает совокупность левых частей уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа

.

Таким образом,

(I контур);

(II контур);

(III контур);

(IV контур);

(V контур).

3. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:

А, А, А, А, А,

А, А, А, А, А.

4. Проверяем решение системы уравнений, составив баланс мощностей.

4.1. Мощность источников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и не превышает 0,5%.