Источниками напряжений

Допустим, имеем электрическую цепь постоянного тока, представленную на рисунке. 2.1.

Рисунок 2.1 – Электрическая цепь постоянного тока

Рассмотрим возможности решения основной задачи расчета приведенной разветвленной цепи постоянного тока. Исходными данными для расчета являются параметры активных и пассивных элеметов цепи. Требуется рассчитать токи в ветвях , , , , , . Используя первый и второй законы Кирхгофа можно составить систему из шести уравнений с шестью неизвестными токами, что позволяет решить поставленную задачу.

Рассмотрим основные этапы расчета и анализа.

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

1.1. Определяем количество ветвей и узлов схемы, выбираем положительное направление токов в ветвях (рис. 2.1). Количество ветвей - , количество узлов - .

1.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи.

Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 2.2.

Ветвями дерева приняты ветви 4,5,6. Ветви связи (1,2,3) обозначены на схеме пунктирными линиями.

Рисунок 2.2 – Граф исходной электрической цепи

1.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. В контур входит одна ветвь связи, добавленная ветвями дерева. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 4 и 5 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 2, дополненной 4 и 6 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 3, дополненной 5 и 6 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура рекомендуется принимать совпадающим с направлением тока в ветви связи (рис. 2.1 и рис. 2.2.). Число независимых контуров для данной схемы равно .

2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

2.1. По первому закону Кирхгофа.

При составлении уравнений учитываем правило знаков. Если ток направлен к узлу, то берем знак ”+”, если от узла, то принимаем знак ”-”. Либо наоборот.

По первому закону Кирхгофа:

(1 узел);

(2 узел);

(3 узел).

Таким образом, по первому закону Кирхгофа составлено ( ) независимых уравнений.

2.2. По второму закону Кирхгофа.

При составлении используют следующее правило знаков. Если направление обхода контура и направление токов в ветви совпадают, то падение напряжения на резистивных элементах ветви берется со знаком ”+”. При несовпадении – знак ”-”. Аналогично учитываются знаки ЭДС источников напряжения.

По второму закону Кирхгофа:

(I контур);

(II контур);

(III контур).

Таким образом, по второму закону Кирхгофа составлено независимых уравнений.

В результате имеем систему из 6 уравнений и 6 неизвестных токов, что позволяет осуществить расчет токов в ветвях исходной схемы.

Пример 2.1.Рекомендованный порядок расчета рассмотрим на примере электрической схемы, приведенной на рисунке 2.3, параметры которой равны: E₁ = 30 B, Е₂ = 20 В, Е₃ = 20 В, r₁ = 5 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃= 8 Ом, r₄ = 8 Ом, r₅ = 10 Ом, r₆ = 5 Ом.

Рисунок 2.3 – Электрическая цепь

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

1.1. Количество ветвей – , количество узлов – . Выбираем положительное направление токов в ветвях (рис. 2.3).

1.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи.

Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 2.4.

Ветвями дерева приняты ветви 4,5,2. Ветви связи (1,3,6) обозначены на схеме пунктирными линиями.

Рисунок 2.4 – Граф исходной электрической цепи

1.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 4 и 2 ветвями дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 3, дополненной 2 и 5 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 6, дополненной 5 и 4 ветвями дерева. Положительное направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением тока в ветви связи (рис. 2.3 и рис. 2.4).

2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

2.1. По первому закону Кирхгофа:

(1 узел);

(2 узел);

(3 узел).

2.2. По второму закону Кирхгофа:

(I контур);

(II контур);

(III контур).

3. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:

А, А, А,

А, А, А.

4. Проверку решения системы уравнения осуществляем с помощью баланса мощности.

4.1. Мощность, генерируемая источниками:

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и не превышает 0,5%.

Пример 2.2.Рассмотрим пример электрической цепи, с последующей экспериментальной проверкой на стенде УИЛС, приведенной на рисунке 2.5, параметры которой равны: E₁ = 20 B, Е₂ = 15 В, r₁ = 50 Ом, r₂ = 100 Ом, r₃= 300 Ом, r₄ = 200 Ом, r₅ = 150 Ом.

Рисунок 2.5 – Электрическая цепь постоянного тока

1. Осуществляем предварительный анализ схемы.

1.1. Количество ветвей – , количество узлов – . Выбираем положительное направление токов в ветвях (рис. 2.5).

1.2. Вычерчиваем граф схемы, в котором выделяем ветви дерева и ветви связи.

Для данной схемы граф имеет вид, представленный на рисунке 2.6.

Ветвями дерева приняты ветви 2,4. Ветви связи (1,3,5) обозначены на схеме пунктирными линиями.

Рисунок 2.6 – Граф исходной электрической цепи

1.3. Используя граф схемы, формируем независимые (главные) контуры. При формировании первого независимого контура используем 1-ю ветвь связи, дополненную 4 ветвью дерева. Соответственно, второй главный контур состоит из ветви связи 5, дополненной 2 и 4 ветвями дерева; третий главный контур состоит из ветви связи 3, дополненной 2 ветвью дерева. Положительное направление обхода контура принимаем совпадающим с направлением тока в ветви связи (рис. 2.5 и рис. 2.6).

2. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

2.1. По первому закону Кирхгофа:

(1 узел);

(2 узел).

2.2. По второму закону Кирхгофа:

(I контур);

(II контур);

(III контур).

3. Подставляем числовые значения в полученную систему уравнений:

Решая данную систему уравнений, определяем токи в ветвях:

мА, мА, мА,

мА, мА.

4. Проверку решения системы уравнения осуществляем с помощью баланса мощности.

4.1. Мощность, генерируемая источниками:

Вт,

Вт.

Суммарная мощность источников:

Вт.

4.2. Мощность приемников:

Вт,

Вт,

Вт,

Вт,

Вт.

Суммарная мощность приемников:

Вт.

4.3. Из сравнения генерируемой мощности источниками и потребляемой мощности приемниками, следует, что погрешность вычислений и не превышает 0,5%.