Матричные уравнения контурных токов

Уравнения контурных токов можно записать в матричной форме:

,

где - квадратная матрица контурных сопротивлений;

- матрица-столбец контурных токов;

- матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники напряжений и эквивалентные ЭДС от источников тока.

Матрица контурных сопротивлений может быть получена по схеме при помощи матрицы контуров :

,

где - диагональная матрица сопротивлений ветвей;

- транспортированная матрица контуров.

Рассмотрим схему, приведенную на рисунке 2.24. Направление обхода каждого контура совпадает с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направление ветвей – с положительными направлениями токов в ветвях.

Рисунок 2.24 – Электрическая цепь постоянного тока

Граф электрической цепи, с выбранным деревом из четвертой, пятой и шестой ветви, приведен на рисунке 2.25.

Рисунок 2.25 – Граф цепи постоянного тока

В данной схеме, независимые контуры содержат контурные токи , , , что соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.

Матрица контуров состоит из трех строк и шести столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений .

Произведение матриц и равно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов .

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Пользуясь матрицами , , и уравнением , можно получить систему уравнений, составленную на основании второго закона Кирхгофа для контуров, каждый из которых включает только одну ветвь связи.

Матрица токов ветвей определяется через матрицу контурных токов по формуле .

Например, для электрической цепи (рис. 2.24):

.

Из этого матричного уравнения получаем равенства, определяющие токи ветвей через контурные токи:

; ; ; ; ; .

Пример 2.9.Решить задачу, приведенную в примере 2.5 с помощью матричных уравнений контурных токов.

Матрица контуров В состоит из пяти строк и десяти столбцов:

.

Диагональная матрица сопротивлений

.

Произведение матриц и равно:

.

Квадратная матрица контурных сопротивлений

.

Матрица-столбец контурных токов

.

Матрица-столбец контурных ЭДС

.

Определяем матрицу контурных токов =

.

Контурные токи соответственно равны

А, А, А,

А, А.

Матрица токов ветвей определяем через матрицу контурных токов :

.

Токи в ветвях соответственно равны

А, А, А, А, А,

А, А, А, А, А.

Токи, рассчитанные в примерах 2.5 и 2.9, совпадают.