Перевірка на рівність двох коефіцієнтів регресії

Припустимо, що в множинній регресії

(7.3.1)

ми хочемо перевірити гіпотези

або , або

(7.3.2)

про рівність двох кутових коефіцієнтів.

Подібна гіпотеза має важливе практичне значення. Наприклад, хай у моделі (7.3.1) представлена функція попиту на товар. У ній Y – величина попиту на товар, X₂ – ціна товару, X₃ – дохід покупця, X₄ – статки покупця. Нульова гіпотеза в цьому випадку означає, що коефіцієнти з доходу й статків збігаються. Або якщо і змінні X виражені в логарифмічному вигляді

,

то нульова гіпотеза (7.3.2) припускає, що еластичності за доходом і статками однакові.

Як перевірити цю гіпотезу? Можна показати, що при виконанні звичайних класичних припущень величина

(7.3.3)

випливає із закону t-розподілуз (n–4) степенями вільності, оскільки (7.3.1) являє собою модель із 4 змінними. У загальному випадку моделі з k параметрами кількість степенів вільності дорівнює (n–k). Величина , що входить в (7.3.3) обчислюється за формулою

.

(7.3.4)

З урахуванням нульової гіпотези можна подати (7.3.3) у вигляді

.

(7.3.5)

Процедура використання t-статистикиза (7.3.5) нічим не відрізняється від уже нам відомої. Якщо визначена за (7.3.5) величина t перевищує критичне значення для вибраного рівня значущості і відповідної кількості степенів вільності, то ми відхиляємо нульову гіпотезу; в протилежному випадку гіпотеза не відхиляється. Можна застосувати після визначення t за (7.3.5)і підхід на підставі p-величини.

Розглянемо приклад, до якого ми зверталися раніше, кубічної функції вартості:

Se=(6,3753) (4,7786) (0,9857) (0,0591) ,R2=0,9983,

де Y – загальні витрати; Х – обсяг продукції, що випускається.

Припустимо, ми хочемо перевірити гіпотезу про те, що коефіцієнти при Х₂ і Х₃ у функції вартості збігаються, тобто або . За наведеними даними підрахуємо значення t:

.

Легко перевірити, що для DF=6отримане значення t перевершує критичне значення навіть при a=0,002 (або 0,2%). Отже, ми можемо відхиляти гіпотезу про рівність у кубічній функції вартості коефіцієнтів при Х₂ і Х₃.