Інтерпретація простого і частинного коефіцієнтів кореляції

У разі моделі з двома змінними R мав чітке визначення, він визначав степінь лінійної зв’язаності між залежною змінною Y і єдиною пояснювальною змінною Х. Якщо ж ми виходимо за рамки моделі з двома змінними, нам потрібно приділити увагу простому коефіцієнту кореляції. З рівності (5.8.2), наприклад, бачимо, що:

1. Якщо навіть , то не буде нульовим за умови, що не дорівнюють нулю і (або обидва вони дорівнюють нулю).

2. Якщо , а і ненульові і мають однакові знаки, то буде негативним, якщо ж вони мають протилежні знаки, він буде позитивним. Приклад допоможе краще зрозуміти це. Нехай Y позначає урожай сільгоспкультури, X₂ - опади, а X₃ – температуру. Припустимо, що , тобто немає зв’язку між урожаєм і опадами. Припустимо далі, що і . Тоді, як бачимо з (5.8.2), . Тобто при незмінній температурі існує позитивний зв’язок між урожаєм і опадами. Цей, здавалося б, парадоксальний результат, відповідає дійсності, оскільки температура X₃ впливає і на урожай Y і на опади X₂. Для знаходження істинного співвідношення між урожаєм і опадами необхідно виключити вплив температури. На цьому прикладі показано, як можна помилятися, використовуючи простий коефіцієнт кореляції.

3. Значення і не обов’язково повинні мати однакові знаки. Це зауваження стосується й інших коефіцієнтів кореляції.

4. Для двовимірної регресії, як нам відомо, величина R² лежить між 0 і 1. Ця властивість залишається справедливою і для квадратів частинних коефіцієнтів кореляції. Спираючись на цей факт, можна перевірити справедливість властивості

.

(5.8.5)

5. Припустимо, що . Чи означає це, що й ? Відповідь очевидна з (5.8.5). Некорельованість Y і X₃, а також X₂ і X₃, не спричиняє корельованості Y і X₂.

Побіжно відзначимо, що вираз можна назвати коефіцієнтом частинної детермінації й інтерпретувати його як частину варіації Y, пояснену не за рахунок змінної X₃, а через включену в модель змінну X₂. Таке трактування стає зрозумілим, якщо застосувати формулу

.

Відзначимо також співвідношення між , простими коефіцієнтами кореляції та частинними кореляційними коефіцієнтами:

;	(5.8.6)
;	(5.8.7)
.	(5.8.8)

Відзначимо на закінчення таке. Раніше мова йшла про те, що не спадає при включенні в модель додаткових пояснювальних змінних. Це зрозуміло з рівності (5.8.7), яка також показує, що частина варіації Y, поясненої спільно змінними X₂ і X₃, має 2 складники: частина, пояснена тільки X₂ (це ), і частина, непояснена X₂ (це ), помножена на пояснену змінною X₃ частину при постійному значенні X₂. Оскільки , то . У крайньому випадку при маємо .