Перевірка лінійних обмежень

Бувають випадки, коли економічна теорія припускає, що коефіцієнти в рівнянні регресії задовольняють деяким, лінійним обмеженням. Розглянемо, наприклад, продуктивну функцію Коба-Дугласа

,

(7.4.1)

де – вироблена продукція; Х₂ – трудовитрати; Х₃ – капіталозатрати; u_i – стохастичний збурюючий складова. Після переходу до логарифмічних змінних, одержуємо

,

(7.4.2)

де .

Економічна теорія припускає, що

.

(7.4.3)

Рівність (7.4.3) являє собою приклад лінійного обмеження.

Для перевірки постійного зростання доходу, тобто справедливості обмеження (7.4.3) можна застосовувати два підходи.

Перший підхід ґрунтується на t-тесті. При цьому спочатку проводиться оцінка рівняння (7.4.2) без урахування обмеження (7.4.3). Називатимемо цю регресію регресією без обмежень. Отримавши оцінки і за МНК, проведемо перевірку виконання гіпотези (7.4.3) на підставі t-тесту (див. 7.3.5):

.

(7.4.4)

Згідно з процедурою перевірки гіпотези порівняємо (7.4.4) з критичним значенням t-розподілудля (n–k) степенів вільності (у нашому випадку n–3) і вибраного рівня значущості a, якщо t з (7.4.4) перевершує критичне значення, то гіпотеза відкидається, у протилежному випадку – не відкидається.

Описана процедура має ту особливість, що спочатку проводиться регресія, а перевірка лінійного обмеження (7.4.3) здійснюється на підставі результатів регресії без обмежень. Можливий інший підхід, коли лінійне обмеження в (7.4.3) враховується із самого початку. У нашому випадку подамо (7.4.3) у вигляді

(7.4.5)

або

.

(7.4.6)

Застосовуючи одне з цих рівнянь, можна виключити один з коефіцієнтів регресії в рівнянні (7.4.2). Якщо застосувати (7.4.5), то можна подати виробничу функцію (7.4.2) у вигляді

або

;	(7.4.7)
,	(7.4.8)

де – відношення обсягу продукції до трудовитрат, а – коефіцієнт відношення капіталу до трудовитрат.

Звернемо увагу на те, як змінилося початкове рівняння (7.4.2). Якщо ми проведемо оцінку з (7.4.8), то ми легко можемо знайти за рівністю (7.4.5). Зайве говорити, що подібна процедура гарантує дорівнюваність одиниці суми коефіцієнтів регресії. Описана процедура називається регресією з обмеженнями. Цей метод може бути поширений на моделі, що містять будь-яку кількість пояснювальних змінних і більш ніж одну умову типу (7.4.3).

Як ми можемо порівняти результати регресії без обмежень з обмеженими? Іншими словами, як визначити чи виконується лінійне обмеження (7.4.3)? На це питання можна відповісти після проведення F-тесту.

Введемо деякі позначення:

- – сума квадратів залишків регресії (7.4.2) без обмежень;

- – сума квадратів залишків регресії з обмеженнями (7.4.8);

- m – кількість лінійних обмежень (у нашому випадку m=1);

- n – кількість спостережень.

Обчислимо

.

(7.4.9)

Можна показати, що обчислена величина підкоряється закону F-розподілу з m і (n–k) степенями вільності.

Наведений вище F-тестможна виразити і в R². У такому випадку маємо вираз

.

(7.4.10)

Тут і позначають коефіцієнти детермінації регресії без обмежень (7.4.2) і з обмеженнями (7.4.8) відповідно. Побіжно зазначимо, що

, .

Нагадаємо також, що оскільки в регресії без обмежень і з обмеженнями залежні змінні не збігаються, то не можна безпосередньо порівнювати коефіцієнти детермінації і .