Пример синтеза корректирующего устройства в нелинейной системе

Выполним синтез корректирующего устройства в следящей системе со структурной схемой, изображенной на рис. 7.17. Система состоит из датчика рассогласований с передаточной функцией , безынерционного усилителя с нелинейной статической характеристикой с насыщением и коэффициентом передачи на линейном участке k₂ (рис.1.5), двигателя с передаточной функцией и редуктора с передаточной функцией .

Рис. 7.17. Следящая система с редуктором

Зададимся значениями параметров: ; ; ; . Ошибка в системе при скорости без учета момента нагрузки не должна превы­шать .

Требуется рассчитать линейное корректирующее устройство и определить коэффициент усиления усилителя k₂ при работе на линейном участке статической характеристики.

Определим потребный коэффициент передачи разомкнутой системы (добротность по скорости)

(7.31)

Запишем передаточную функцию для исходной разомкну­той системы при работе усилителя на линейном участке статиче­ской характеристики:

,

где .

Для нелинейного звена со статической характеристикой с насыщением (рис. 7.18, а) гармоническая линеаризация дает

(7.32)

при

при (7.33)

Перейдем к относительным амплитудам и выпол­ним приведение нелинейности, отнеся коэффициент нелинейного звена к линейной части системы. В результате получим значение коэффициента гармонической линеаризации для приведенной нелинейности:

при

при

Примерный график изменения приведенного коэффициента гармонической линеаризации в зависимости от относительной амплитуды на входе нелинейности представлен на рис. 7.18,б.

Как видим, передаточная функция (7.31) является переда­точной функцией приведенной линейной части, по которой строим располагаемую л. а. х. исходной линейной части (рис. 7.20) при учете значений и . Для этого через точку проводим линию с накло­ном — 20 дб/дек. Участок этой линии до частоты является первой асимптотой .

Вторую асимптоту в соответствии с передаточной функцией (7.31) проводим с наклоном — 40 дб/дек.

Рис. 7.18,а. Рис. 7.18,б. График

Характеристика изменения q_п(α)

нелинейного звена

Выбираем тип желаемой л. а. х. приведенной линей­ной части. Так как начальная асимптота располагаемой л. а. х. имеет наклон — 20 дб/дек, а конечная — наклон — 40 дб/дек, то в интересах простоты корректирующего устройства следует и качестве желаемой взять л. а. х. типа б (— 20, — 40, — 20, — 40 дб/дек).

Поскольку задана только максимальная скорость слежения Ω_m и не задано максимальное ускорение, это значит, что сле­жение происходит с медленным изменением скорости (при ма­лых ускорениях). В этом случае не накладывается ограничений в области низких частот на выбор частоты ω₁ первого излома желаемой л. а. х. Это дает возможность сразу выбрать протя­женности участков h и h₁ по h, - кривым.

Зададимся реализуемым в скорректированной системе по­казателем колебательности . За счет участка с наклоном — 20 дб/дек обеспечивается максимальный запас по фазе при частоте ω_m и значении усиления по амплитуде

что при пересчете в децибелы дает

Проводим линию на уровне (штриховая линия на (рис. 7.19).Участок h желаемой л. а. х. должен делиться примерно пополам при пересечении этой линии.

Далее, пользуясь h, - кривыми (рис. 7.15), выбираем подходящий вариант для участков h и h_l с тем, чтобы

Рис. 7.19. Вариант желаемой л. а. х.

обеспе­чить показатель колебательности . Для обеспечения заданной точности первая асимптота желаемой л. а. х. должна совмещаться в низкочастотной области с первой асимптотой располагаемой л. а. х.

В интересах упрощения корректирую­щего устройства последняя асимптота желаемой л. а. х. должна либо совмещаться с последней асимптотой располагаемой л. а. х. в высокочастотной области, либо проходить параллельно ей.

На рис. 7.19 показан вариант желаемой л. а. х. с участками, соответствующими, согласно h, - кривым, при протяженностях участков

Вычитая из желаемой л. а. х. располагаемую л. а. х. , получим л. а. х. линейного последовательного коррек­тирующего устройства . Как видно, в качестве после­довательного корректирующего устройства можно применить пассивный интегрирующий контур (рис. 7.20) с передаточной функцией

(7.34)

при

Рис. 7.20. Пассивный

интегрирующий контур

Постоянные времени контура определяются частотами из­лома и связываются с величинами сопротивлений R₁ и R₂ и емкостью конденсатора С:

(7.35)

Корректирующее устройство обычно включается между каскадами усилителя. Если система работает на переменном токе, то перед корректирующим устройством включается демо­дулятор и фильтр, а после корректирующего устройства ста­вится модулятор. Поэтому при расчете параметров корректирую­щего устройства важно обеспечить согласование его с выход­ным сопротивлением цепей перед корректирующим устройством и входным сопротивлением последующих цепей. Это делается при расчете усилителя.

Для нашего случая имеем

Можно задаться величиной емкости конденсатора, напри­мер ; тогда из второго соотношения имеем

Из первого условия получим

и, следовательно,

Поскольку корректирующее устройство не изменяет коэффи­циента передачи системы на низких частотах, то коэффициент усиления усилителя по напряжению для линейного участка статической характеристики определится из общего потребного коэффициента передачи:

После выполнения синтеза корректирующего устройства целесообразно выполнить проверку. Для этого построим лога­рифмическую фазовую характеристику приведенной линейной части и запретную зону для нее при расчетном показателе колебательности .

Запишем передаточную функцию приведенной линейной части скорректированной разомкнутой системы согласно (7.31) и (7.36):

(7.36)

Соответствующая (7.36) частотная передаточная функция будет

(7.37)

Согласно (7.36) логарифмическая фазовая характеристика приведенной линейной части определится соотношением

(7.38)

что с учетом значений постоянных времени дает

(7.39)

Результаты расчета по формуле (7.39) сведены в таблицу:

Таблица 7.1. Зависимость φ_п от частоты ω

ω, 1/с	0,5
, град	-111	-125	-134	-129	-122	-123	-140	-156	-167

По данным таблицы 7.1 на рис. 7.19 построена характеристика .

Учитывая изменение приведенного коэффициента гармони­ческой линеаризации для нелинейной статической характери­стики с насыщением . заключаем, что запретная зона будет иметь максимальное значение запаса по фазе при всех частотах и составит согласно (7.11) величину

Остальная часть запретной зоны при , строится с по­мощью окружности для приведенной линейной системы.

Из выполненного построения (рис. 7.19) видно, что потреб­ный запас по фазе удовлетворяется точно при частотах участка h₁ и удовлетворяется с запасом (как и следовало ожи­дать) при частотах участка h. В результате коррекции обеспе­чивается качество процесса в системе с при запасе устойчивости по фазе , что соответствует хорошему демпфированию нелинейной системы.

7.5. Контрольные вопросы к главе 7

1. Что принимается за значение показателя колебательности?

2. За счет чего происходят деформации запретных зон?

3. Какой график необходимо построить, чтобы определить показателя колебательности?

4. Что нужно определить, в первую очередь, при оценке показателя колебательности?

5. В каком порядке проводится синтез линейных корректирующих устройств?

6. Какого типа существуют желаемые л.а.х.?

7. Какой тип л.а.х. наиболее употребителен?

8. Какие требования накладываются на протяженность участков h и h₁?

9. Какова связь между протяженностью участков h и h₁ и показателем колебательности?

10. Какой подъем должна иметь логарифмическая амплитудная характеристика приведенной линейной части?

Литература

1. Баркин А. И. Оценки качества нелинейных систем/ А. И Баркин. – М.: Наука, 1982. – 357с

2. Белов Г. А. Теория автоматического управления (нелинейные и дискретные системы)/ Г. А. Белов. – Чебоксары.: Изд-во Чебоксарск. ун-та, 2009. – 447с

3. Теория автоматического управления. Часть 2/ Н.А. Бабаков,[и др.]; под общ. ред. А.А.Воронова. – М.: Высшая школа, 1986. – 504с.

4. Теория автоматического управления: учебник для вузов /С. Е. Душин, [и др.]; под общ. ред. В.Б.Яковлева. – М.: Высшая школа, 2003. – 567с.

5. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы/ И.В. Мирошник. –СПБ.: Питер, 2004. – 272с.

6. Наумов Б. Н. Теория нелинейных автоматических систем/ Б.Н.Наумов. – М.: Наука, 1972. – 385с.

7. Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский , Е.П. Попов. – М.: Наука, 2003. –747с.

8. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления / А. Н. Герасимов [и др.]; под общ. ред. В.А. Бесекерского. – 5-е изд., перераб. М.: Наука, 1978. – 512с.

9. Пальтов И.П. Нелинейные методы исследования автоматических систем/ И.П. Пальтов. – Л.: Энергия, 1976. – 128с.

10. Пальтов И.П. Качество процессов и синтез корректирующих устройств в нелинейных автоматических системах. И.П. Пальтов. – М.: Наука, 1975.– 368с.

11. Пантелеев А.В. Теория управления в примерах и задачах: учебное пособие/ А. В. Пантелеев, А.С. Бортаковский. – М.: Высшая школа, 2003. – 583с.

12. Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления/ Е.П. Попов. – М.: Наука, 1988. – 256с.

13. Хлыпало Е.И. Нелинейные системы автоматического регулирования/ Е. И. Хлыпало. – Л.: Энергия, 1967. – 452с.