Процессы управления в автоколебательных системах
Автоколебательные системы довольно часто встречаются среди систем автоматического управления и регулирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа. Будем считать, что частота автоколебаний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. Поэтому будем искать решение для переменной х на входе нелинейности (рис. 6.1) в виде
(6.29)
где ;
—медленная переменная по сравнению с .
Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид (6.2) в которой f(t) — медленная функция времени (по сравнению с ). Гармоническую линеаризацию нелинейности произведем в предположении, что не успевает заметно измениться за период автоколебаний. Тогда, согласно (4.15),
(6.30)
Подставив (6.30) в уравнение системы (6.2), разобьем последнее, как и прежде, на два. Уравнение для медленных составляющих (т. е. для процесса управления) получит вид
(6.31)
Уравнение для периодических составляющих запишется в виде
(6.32)
Три неизвестных функции , α и ω в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6.31) и (6.32). Поскольку эти функции взаимосвязаны, причем (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда α и частота ω автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе управления.
Если путем решения уравнения (6.32) найти зависимость и подставить ее в выражение , полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию, которая оказывается плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелинейностей. Применяя к этой функции всю прежнюю процедуру обычной линеаризации (6.17), (6.18), получим
(6.33)
Для конкретных нелинейностей здесь будут справедливы прежние формулы (6.20) — (6.24) и графики (рис. 6.9 — 6.12), в которых, однако, в отличие от прежнего, величина является амплитудой симметричных автоколебаний, определяемой для данной системы согласно разделов 4.3 или 4.4.
Таким образом, для нахождения коэффициента усиления нелинейности в процессе управления kH в автоколебательной системе нет необходимости искать зависимость и строить новую нелинейную функцию , а требуется знать лишь амплитуду симметричных автоколебаний . В результате уравнение динамики процесса управления в автоколебательной системе вместо нелинейного (6.31) будет линейным:
(6.34)
Однако коэффициент kH обладает особыми свойствами. Он, согласно (6.20) — (6.24), зависит от амплитуды , а эта последняя, согласно раздела 4.3, определяется через параметры всей системы. Следовательно, kH зависит также и от структуры и параметров линейной части системы, т. е.
(6.35)
Эту особенность надо учитывать при синтезе системы с использованием линейной теории, а также при исследовании устойчивости и качества процессов управления.
Для определения амплитуды и частоты автоколебаний, которые накладываются на процесс управления, надо использовать уравнение (6.32) Оно полностью совпадает с уравнением (4.65) для несимметричных автоколебаний. Решается это уравнение в общем случае подстановкой в характеристическое уравнение
после выполнения подстановки и выделения вещественной и мнимой частей получим два уравнения:
(6.36)
Отсюда определяются зависимости , причем —процесс управления, определяемый дифференциальным уравнением (6.34).
В случае, если нелинейность F(х) является однозначной, это решение упрощается, так как частота автоколебаний ω в этом случае не зависит от величины и от формы нелинейности. Эта частота постоянна в процессе управления и определяется отдельно из уравнения (4.67):
(6.37)
а зависимость определяется также отдельно из выражения
(6.38)
куда подставляется значение ω, найденное из (6.37).
Пример 6.4. Рассмотрим систему с идеальной релейной характеристикой, схема которой приведена на рис. 6.16.
Рис.6.16.Система с идеальной релейной
характеристикой
Заданы: передаточные функции ,
;
Вид нелинейности: - идеальная релейная характеристика;
- коэффициент жесткой обратной связи.
Общее уравнение динамики системы относительно переменной х запишется в виде
Для подстановки в уравнение (6.38) здесь имеем
,
,
Поэтому, согласно (6.37), получаем значение частоты автоколебаний
(6.39)
Гармоническая линеаризация нелинейности дает
где, согласно (4.33),
(6.40)
Коэффициент усиления нелинейности в процессе управления , согласно (6.20), вычисляется в виде
,
где — амплитуда симметричных автоколебаний в данной системе.
Из формул (6.38) и (6.40) при получаем
откуда с подстановкой (6.39) находим
(6.41)
Следовательно,
(6.42)
Итак, общее уравнение динамики системы относительно переменной х для процесса управления принимает вид
где коэффициент выражается через другие параметры системы формулой (6.42). Дальше эту систему можно рассчитывать как обыкновенную линейную, определяя устойчивость и качество процесса управления с соответствующим выбором параметров, учитывая выражение для (6.42). Здесь нужно еще иметь в виду ограниченность возможного интервала линеаризации процесса управления, так как из (6.40), например, следует требование . Отсюда вытекают требования на соотношение параметров системы в соответствии с формулой для амплитуды (6.41).
Для того чтобы определить амплитуду автоколебаний, наложенных на процесс управления, надо воспользоваться формулой (6.38), которая с подстановкой ω (6.39) и q (6.40) дает
откуда определяется зависимость в процессе управления.
Рассмотрим и здесь те же две специфические частные задачи, которые рассматривались выше при вынужденных вибрациях.
3. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи автоколебаний. Мы видели, что за счет автоколебательных вибраций в автоматической системе любая нелинейная характеристика, в том числе скачкообразная и гистерезисная, становится плавной кривой как и прежде (рис. 6.8). Это и называется вибрационным сглаживанием нелинейности, а замена — вибрационной линеаризацией нелинейности для сигнала управления при помощи автоколебаний.
Для реализации этого свойства в системе вокруг нелинейного звена организуется внутренний автоколебательный контур (рис. 6.17).
Параметры его выбираются так, чтобы частота автоколебаний была достаточно высокой и не пропускалась остальными звеньями системы (за пределами этого контура) и чтобы амплитуда автоколебаний была не меньше возможных значений медленной составляющей на входе нелинейности х (рис. 6.17).
Далее вычисляется амплитуда симметричных (т. е. при ) автоколебаний этого контура, взятого отдельно. Затем через величину α с определяется значение для данной
Рис. 6.17. Система с внутренним автоколебательным
контуром
нелинейности. После этого процесс управления во всей системе в целом исследуется и рассчитывается как в чисто линейной с заменой нелинейности F(x) на .
4. Влияние автоколебательных вибрационных помех на устойчивость и качество процесса управления. Наряду со специальным использованием автоколебаний, изложенным в задаче 1, могут быть случаи их вредного влияния вплоть до нарушения устойчивости процесса управления. Это влияние совершенно аналогично действию внешних вибрационных помех (раздел 6.2).
Обратимся к той же задаче учета упругих вибраций корпуса самолета в полете, как и при исследовании вибрационной помехоустойчивости в предыдущем разделе. Там эти вибрации считались поступающими на гироскоп извне. Строго же говоря, они имеют место внутри системы, как показано на рис. 6.18, а, где автопилот и самолет составляют прежний контур управления, в котором рассматривается движение самолета как твердого тела. Но теперь параллельно ему подключен еще контур упругих колебаний корпуса с уравнением
(6.43)
где — угол отклонения при изгибе оси самолета в точке установки гироскопа. Изгибные вибрации при таком рассмотрении являются автоколебательными.
Чтобы определить коэффициент усиления нелинейности F(x) автопилота в процессе управления, нужно найти сначала амплитуду симметричных изгибных колебаний . Поскольку они не проходят через звено «самолет как твердое тело», то
Рис. 6.18,а. Система с Рис.6.18,б. Расчет
автопилотом автоколебаний в
отдельном контуре
для определения рассчитываются автоколебания в отдельном контуре (рис. 6.18, б). Затем полученное значение используется при определении , после чего система самолет — автопилот исследуется как линейная с учетом выражения через другие параметры системы (см. пример, приводившийся выше). Заметим, что поскольку коэффициент демпфирования в уравнении (6.43) мал, то частота автоколебаний будет близка к значению с в уравнении (6.43). Это и давало возможность рассматривать в предыдущем разделе прохождение автоколебаний через автопилот как прохождение вынужденных колебаний с заданной извне частотой.
Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 513;