Колебательные переходные процессы


Рассмотрим определение качества колебательных пе­реходных процессов в нелинейных системах (рис. 6.19). Эти процессы могут быть затухающими до нуля или до амплитуды автоколебаний и расходящимися изнутри до амплитуды автоколебаний, или же расходящимися неог­раниченно в случае неустойчивости.

Будем рассматривать их как собственные колебания при отсутствии внешних воздействий во время самого процесса. Уравнение нелинейной системы (рис.4.2), как известно, имеет вид

(6.44)

В линейных системах синусоидальные переходные коле­бания имели вид

(6.45)

Для линейной системы высокого порядка такое решение является приближенным в том смысле, что оно соответствует одной паре комп­лексных корней харак­теристического уравне­ния системы.

Рис. 6.19. Колебательные

пе­реходные процессы

 

Чтобы это решение отвечало основной части переходного процес­са, эта пара корней должна быть ближайшей к мнимой оси.

В нелинейных системах, линейная часть которых удовлетворяет свойству фильтра нижних частот (раздел 4.1), будем считать переходные колеба­ния близкими к синусоидальным (6.45), полагая, однако, что показатель затухания ξ и частота ω медленно изме­няются с изменением амплитуды колебаний α в ходе процесса. Сама амплитуда α(t) может меняться быстро вплоть до затухания за один-два периода.

Тогда решение вместо (6.45) надо искать в виде

(6.46)

Как частный случай отсюда при и получается формула (6.45) для линейных систем.

При колебания затухают, при — расхо­дятся.

Гармоническая линеаризация нелинейности здесь изменится, поскольку из (6.46) имеем

Отсюда

,

В связи с этим первая гармоника колебаний на выходе нелинейности, вместо прежнего (4.10) получит выражение

,

где коэффициенты гармонической линеаризации q и q' определяются, как и раньше, формулами (4.11). Поэтому здесь для конкретных нелинейностей можно пользоваться результатами, полученными в разделе 4.2.

Затухающие или расходящиеся колебания в линейной системе соответствуют комплексным корням характери­стического уравнения. Следовательно, для их определе­ния нужно в характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы (вытекающее из (6.44) в (6.47))

(6.47)

подставлять , полагая, что это соответствует ближайшей к мнимой оси паре комплексных корней. В ре­зультате получим

(6.48)

В это комплексное уравнение входят неизвестные ве­личины ξ, ω, α. Следовательно, из этого уравнения можно найти две из них как функцию третьей:

ξ(α)

ω(α) (6.49)

Этого достаточно, чтобы затем по формулам (6.46) при­близительно определить и кривую переходных колеба­ний x(t).

В большинстве случаев при проектировании системы автоматического управления и регулирования не требуется вычерчивать кривую переходного процесса. Нужна лишь оценка быстроты затухания и частоты колебаний, т. е. для оценки качества переходного колебательного процесса в большинстве случаев можно ограничиться определением зависимостей ξ (α) и ω(α) из уравнения (6.48).

Один из способов определения этих зависимостей со­стоит в следующем. Выделив в уравнении (6.49) вещественную и мнимую части, получим два уравнения

(6.50)

из которых и определяются зависимости (6.49).

Если нужно выбирать какой-либо параметр системы, например коэффициент усиления линейной части kл, так, чтобы ξ и ω удовлетворяли заданным требованиям, то можно пользоваться так на­зываемыми диаграммами ка­чества. Они строятся следу­ющим образом.

Пусть в ка­кой-либо системе мы опреде­лили зависимость амплитуды автоколебаний α п от пара­метра kл, как показано на рис. 6.21. Здесь по параметру kл выделена область устой­чивости равновесного состоя­ния. В автоколебательном ре­жиме имеем , т. е. . Ниже линии АВ (рис. 6.21) колебания расходятся. Следовательно, там . Выше линии АВ колебания затухают и, значит, там . На самой линии АВ имеем .

Рис.6.21. Зависимость

амплитуды

автоколебаний αп от

пара­метра kл

 

Если на основании уравнений (6.50) провести линии равных значений ξ, то получится диаграмма, изображен­ная на рис. 6.22. Взяв некоторое значение в об­ласти устойчивости равновесия, получим (идя по верти­кали) зависимость , показанную на рис. 6.23, а.

Для значения же в области автоколебаний (рис. 6.22) зависимость будет иметь иной вид (рис. 6.23, б).

Эти графики дают представление о качестве затухания колебательных переходных процессов при раз­ных значениях параметра kл.

Можно найти огибающую переходного колебательного процесса во всех этих случаях (рис. 6.24), согласно (6.47), по формуле

(6.51)

 

а) б)

Рис.6.22. Линии равных Рис.6.23. Зависимость

значений ξ

 

Рис.6.24.Огибающая переходного Рис.6.25. Линии

колебательного процесса равных значений

частоты ω

 

Интегрирование (6.51) в конечной форме возможно лишь в простейших случаях. Поэтому приведем графический способ построения оги­бающей . Введем в рассмотрение текущую «постоянную времени»

(6.52)

В обыкновенных линей­ных системах . Здесь же Т медленно изменяется с изменени­ем амплитуды. Значе­ния , согласно фор­муле (6.52), берутся из диаграммы качества (рис. 6.22) для каждого значения а при заданном kл. Считая на небольшом промежутке времени, производим графическое построение огибающее указанным на рис. 6.24 способом. Он настолько прост, что не требует дополнительных к рисунку разъяснений.

Для наглядного представления об изменениях часто­ты переходных колебаний можно, используя уравнения (6.50), на той же плоскости (kл, α), построить линии равных значений частоты ω (рис. 6.25).

Пример6.5. Построим диаграммы качества не­линейных колебательных переходных процессов для си­стемы, показанной на рис. 6.26, где

;

;

F(x) имеет вид, приведенный на рис. 1.13.

Рис. 6.26. Пример си­стемы для построения

диаграммы качества

 

Гармоническая линеаризация нелинейности дает

Характеристическое уравнение замкнутой системы в результате получает вид

Подставляя в это уравнение , ищем решение в форме (6.47).

Выделив вещественную и мнимую части, получим два уравнения (6.50) в виде

 

 

а) б)

Рис. 6.27. Диаграммы качества по параметру k1

Из второго уравнения с учетом значения q(α) находим

 

(6.53)

а из первого

(6.54)

где

По формулам (6.53) и (6.54) построены диаграммы качества нелинейных колебательных переходных процес­сов в виде линий и по параметру k1 на рис. 6.27 и по параметру koc — на рис. 6.28.

Линии на обеих диаграммах соответствуют амплитуде ав­токолебаний. В области автоколебаний, как видно из диаграммы качества, например по линии FC (рис. 6.27), переходные процессы расходятся ( ) от состояния

 

 

а) б)

Рис. 6.28. Диаграммы качества по параметру koc

 

равновесия ( ) до амплитуды ас и затухают при больших начальных амплитудах ( ), например по отрезку ЕС. В области же устойчивости (см., например, отрезок DB) колебания при любых начальных амплиту­дах затухают ( ). Изменение частоты колебаний при этом показывают отрезки E'F' и D'B'. Левее линии процессы апериодические.

 

Рис. .29.Диаграммы качества для нелинейностей вида рис.1.3

 

 

Рис.6.30. Диаграммы качества

для нелинейностей вида рис.1.5

 

На рис. 6.29 и 6.30 приведены диаграммы качества, характерные для других видов нелинейностей. Важно отметить, что в случае нелинейной системы такие диа­граммы имели бы вид вертикальных прямых, так как ξ и ω там не зависят от амплитуды. Это и видно на рис. 6.30 в зоне линейности, где .

Укажем еще другой способ оценки быстроты затуха­ния переходных процессов в нелинейной системе с од­ной однозначной нелинейностью F(x)(рис. 4.2). Пере­даточная функция линейной части имеет вид

Нелинейная характеристика F(x)расположена в секто­ре [0, km] (рис. 6.31)и может иметь произвольное очертание. Данный способ оценки быстроты затухания переходных процессов

Рис 6.31. Однозначная

нелинейность

 

основан на применении частотно­го критерия абсолютной устойчивости (раздел 5.5). На комп­лексной плоскости вместо модифицированной (5.48) стро­ится смещенная частотная характеристика,определяе­мая следующим образом:

(6.55)

где

Основываясь на формулировке критерия абсолютной устойчивости (раздел 5.5), можно оценить быстроту затуха­ния переходного процесса в системе следующим обра­зом. Нелинейная система с устойчивой линейной частью и нелинейной характеристикой, расположенной внутри сектора [0, km], будет обладать показателем затухания, не меньшим данного , если через точку можно провести прямую с любым наклоном так, что она не пересечет смещенной характеристики .Эта оценка проиллюстрирована на рис. 6.32.

Можно определить предельное значение km, при ко­тором в системе имеет место показатель затухания, не меньше ‌‌,как показано на рис. 6.33.

 

 

 

Рис.6.32. Прямая не Рис.6.33. Определение

пересекает смещенную предельного значения km

характеристику

 

Если построить серию смещенных частотных харак­теристик для разных значений ξ, то получим зависи­мость , т. е. зависимость показателя затухания от размера сектора, в котором лежит нелинейная характе­ристика.

 

 

6.5. Контрольные вопросы к главе 6

1. Какой вид внешнего воздействия на нелинейную систему?

2. Какая область называется областью захватывания?

3. В чем суть явления захватывания?

4. Что называется границей вибрационной помехоустойчивости системы?

5. Что такое вибрационное сглаживание нелинейности?

6. Как находится огибающая переходного колебательного процесса?

7. Можно ли, пользуясь значениями коэффициента kH, определять процесс управления в нелинейной системе на базе линейной теории?

8. Какую особенность коэффициента kH необходимо учитывать при синтезе системы с использованием линейной теории?

9. В чем суть вибрационного сглаживания при помощи автоколебаний?

10.Каково влияние автоколебательных вибрационных помех на устойчивость и качество процесса управления?

 

 



Дата добавления: 2020-10-25; просмотров: 718;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.027 сек.