Смежные классы, теорема Лагранжа
Пусть H подгруппа группы G. Левым смежным классом элемента a по подгруппе H называется множество элементов ah, где h принадлежит H. Левый смежный класс обозначают aH. Аналогично вводится правый смежный класс элемента a по подгруппе H, который обозначают Ha.
Поскольку в подгруппе всегда имеется нейтральный элемент, то каждый элемент a содержится в смежном классе aH (Ha).
Свойство 2.7. Элементы a и b принадлежат одному левому смежному классу по подгруппе H тогда и только тогда, когда
Доказательство. Если , то b=ah, и, значит, b принадлежит левому смежному классу aH. Обратно, пусть
, тогда найдутся
, что
,
и
.
Теорема 2.2. Если левые (правые) смежные классы элементов a и b по подгруппе H имеют общий элемент, то они совпадают.
Доказательство. Пусть . Тогда найдутся
, что
. Произвольный элемент из левого смежного класса aH содержится в левом смежном классе bH. Действительно,
для
, и, следовательно,
. Аналогично доказывается включение
. Тем самым теорема доказана.
Следствие 2.1. Левые смежные классы либо не пересекаются, либо совпадают.
Доказательство очевидно.
Следствие 2.2. Левый (правый) смежный класс равномощен H.
Доказательство. Установим соответствие межу элементами подгруппы H и элементами смежного класса aH по формуле . Соответствие является взаимно однозначным. Тем самым утверждение доказано.
Теорема 2.3 (Лагранжа). Порядок конечной группы делится на порядок ее подгруппы.
Доказательство. Пусть G – группа порядка n, а H - подгруппа G порядка k.Имеет место равенство . Удалим из правой части равенства повторяющиеся члены. В результате останутся не пересекающиеся смежные классы. Поскольку число элементов в смежном классе равно
, то
, где m количество различных смежных классов. Тем самым установлено равенство n=mk, что и требовалось.
Количество различных смежных классов называется индексом подгруппы H в группе G.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2461;