Жорданова клетка. Циклический базис. Циклические пространства.
Пусть степень корневого подпространства k равна размерности этого подпространства. В корневом пространстве найдется вектор e, минимальный аннулирующий многочлен которого равен
(чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, что минимальный многочлен подпространства равен наименьшему общему кратному минимальных многочленов базисных векторов). Система векторов
линейно независима и, значит, является базисом
. Базис данного вида называется циклическим. Пространство, в котором возможен циклический базис, называется циклическим пространством. Матрица линейного преобразования в циклическом базисе имеет вид
. Действительно, образ базисного вектора
, и, значит, при i<k-1 раскладывается по двум базисным векторам, а при i=k-1 справедливо равенство
. Матрица указанного вида называется нижней треугольной жордановой клеткой порядка k. Для получения верхней треугольной жордановой клетки циклический базис запишем в обратном порядке.
Теорема 1.5. Корневое подпространство раскладывается в прямую сумму циклических подпространств, размерность которых не превосходит степени минимального многочлена.
Доказательство проведем индукцией по размерности корневого подпространства. Если размерность корневого подпространства равна 1, то утверждение теоремы очевидно. В предположении, что утверждение теоремы верно для всех корневых пространств размерности не выше n-1, покажем его справедливость для n-мерного корневого пространства , где k – степень минимального аннулирующего многочлена. Если k=n, то утверждение теоремы верно (все пространство циклическое). Пусть k<n. В корневом пространстве
найдется вектор e, минимальный аннулирующий многочлен которого равен
. Дополним линейно независимую систему векторов
до базиса корневого пространства векторами
. Линейную оболочку
обозначим через U. В пространстве U определим линейное преобразование
:
- есть проекция вектора
на подпространство U параллельно линейной оболочке
. Многочлен
является аннулирующим многочленом пространства U для
. Действительно, для вектора x из U справедливо равенство
. Таким образом, пространство U является корневым для преобразования
и имеет размерность меньше n, следовательно, по предположению индукции пространство U разлагается в прямую сумму циклических подпространств. Пусть
и
- циклический базис i-го слагаемого (i=1,…,s). Поскольку степень минимального многочлена преобразования
не превосходит k, то
(i=1,…,s). Из равенства
вытекает, что вектор
принадлежит линейной оболочке векторов
и, следовательно,
, где
- многочлен степени не выше k. Применив к обеим частям равенства преобразование
, получим
, то есть многочлен
является аннулирующим для вектора e. Аннулирующий многочлен вектора без остатка делится на минимальный аннулирующий многочлен вектора, следовательно,
делится без остатка на
, т.е.
. Тем самым установлено равенство
, которое запишем в виде
. Положим
, где (i=1,…,s). Для доказательства теоремы достаточно показать, что система векторов
образует базис
. Поскольку общее количество векторов в системе равно n, то достаточно показать ее линейную независимость. Допустим, что
(здесь полагаем
и
). Спроектируем обе части равенства на U параллельно линейной оболочке векторов
и получим равенство
. Поскольку
, то получаем равенство
, из которого вытекает
при i>0, так как система векторов
образует базис U. Далее, из равенства
, в силу линейной независимости системы
, получаем равенство нулю остальных коэффициентов. Тем самым теорема доказана.
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2640;