Простота знакопеременной группы

Обозначим через группу четных перестановок порядка n.

Лемма 2.1. Если нормальная подгруппа группы (n>2) содержит цикл из трех элементов, то она совпадает с .

Доказательство. Не нарушая общности можно считать, что нормальная подгруппа H содержит цикл (1-2-3). Тогда его квадрат (1-3-2) принадлежит H, а также элементы вида , где . Положим , тогда . При (1-2-k)(1-2-k)(1-2-m)=(1-k-m), следовательно, перестановки вида (1-k-m) принадлежат H. Для попарно не равных друг другу чисел k, m, r (1-k-r)(1-m-k)=(k-r-m), и, значит, все циклы длины 3 принадлежат H. Любая перестановка раскладывается в произведение транспозиций вида (i-i+1), причем в разложении четной перестановки число транспозиций – четное. Рассмотрим произведение двух транспозиций (i-i+1)(j-j+1). Если |i-j|=1, то это произведение – цикл длины 3, и, следовательно, принадлежит H. Если |i-j|>1, то (i-i+1)(j-j+1)=(i-j-j+1)(i-j-i+1) представляется в виде произведения двух циклов длины 3, и также принадлежит H. Таким образом, любая четная перестановка представляется в виде произведения сомножителей из H, и, значит, содержится в H.

Теорема 2.11. Группа четных перестановок при - простая.

Доказательство. Допустим в нашлась нормальная подгруппа H. Выберем в H перестановку , оставляющую неподвижным как можно большее количество элементов. Запишем перестановку в виде произведения независимых циклов, причем начнем с самого длинного. Рассмотрим случай, когда максимальный цикл имеет длину три и больше . Перестановка и, значит, . Поскольку , то . Рассмотрим случай, когда перестановка разбивается на независимые циклы длины два общим количеством больше двух. Количество циклов четное. Пусть . Так как и переставляет только 4 элемента, то этот случай противоречит выбору . Осталось рассмотреть единственный случай, когда . Пусть r отличен от i, j, k ,m. Перестановка , , и по лемме .