Частотные показатели качества

Частотные показатели качества работы систем РА определяются по АЧХ замкнутой системы (рис. 6.3). АЧХ систем нормируются относительно значения АЧХ, на частоте равной нулю, т.е. ее начальное значение равно единице. При этом следует отметить, что в астатических системах РА значение этой характеристики при частоте, равной нулю, равно единице, а в статических системах – .

Рис. 6.3 - Нормированная АЧХ замкнутой системы РА

К частотным показателям качества работы систем РА относятся следующие параметры:

1) полоса пропускания w_п – диапазон частот, в котором АЧХ больше или равна единице. Если АЧХ замкнутой системы РА во всем диапазоне частот меньше единицы, то полоса отсчитывается по уровню 0.7;

2) резонансная частота w_р – частота, соответствующая максимуму АЧХ замкнутой системы, эта частота характеризует частоту колебаний в переходном процессе;

3) показатель колебательности М – максимальное значение АЧХ замкнутой системы. Обычно этот показатель не должен превышать двух и соответствует колебательности переходного процесса системы.

Частотные показатели замкнутой и разомкнутой систем связаны соотношением

,

где , – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

Из последнего выражения находим, что

(6.3)

или при – АЧХ и ФЧХ разомкнутой системы.

(6.4)

Из уравнений (6.3) и (6.4) следует, что в диапазоне частот, в котором , АЧХ замкнутой системы равна единице, а ФЧХ мало отличается от нуля. В диапазоне частот, где , характеристики и совпадают с характеристиками разомкнутой системы.

На частоте, равной полосе пропускания, АЧХ замкнутой системы равна единице. Тогда согласно (6.4),

. (6.5)

В диапазоне частот среза и пропускания логарифмическая АЧХ разомкнутой системы имеет наклон – 20 дБ/дек. Поэтому ФЧХ в этом диапазоне частот изменяется незначительно и можно принять, что . Тогда выражение (6.5) принимает вид

Полоса пропускания и частота среза связаны соотношением

.

Отсюда

. (6.6)

Значение показателя колебательности системы РА можно определить, если исследовать на максимум выражение (6.4). В диапазоне частот, в котором расположена резонансная частота, ФЧХ разомкнутой системы изменяется незначительно и приблизительно равна этой характеристике на частоте среза. Поэтому для отыскания максимума (6.4) можно продифференцировать это выражение по и результат приравнять к нулю. В результате получим, что максимум АЧХ замкнутой системы получается при . Подставив это выражение в (6.4), найдем, что колебательность системы связана с запасом устойчивости по фазе выражением

. (6.7)

Пример. Оценить частотные показатели качества работы системы фазовой автоподстройки частоты, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии

.

Решение. На основе построения ЛАЧХ разомкнутой и замкнутой систем (рис. 6.4) видно, что запас устойчивости по фазе равен 0,89 рад; w_П =12.5 с^–1; М = 1.2.

Рис. 6.4 - Оценка частотных показателей системы фазовой

автоподстройки частоты

Оценка показателей по формулам (6.6) и (6.7) позволяет получить следующие результаты: w_П = 12,6 с^–1; М = 1,28, т.е. оценка параметров АЧХ по этим формулам обеспечивает достаточную для практики точность.