Анализ точности работы систем радиоавтоматики

Как отмечалась, системы РА подразделяются на статические и астатические. В статических системах ошибка в установившемся режиме не равна нулю, а в астатических равна нулю (рис. 6.5).

Рис. 6.5 - Временная зависимость ошибки статической (1)

и астатической (2) систем

Передаточная функция астатической системы относительно сигнала имеет вид . В соответствии с определением передаточной функции ошибки (4.32) . Ошибка в установившемся режиме, называемая статической, на основании теоремы преобразования Лапласа о конечном значении функции имеет вид

. (6.8)

Из выражения (6.8) следует, что статическая ошибка равна нулю, если передаточная функция ошибки содержит множитель p (имеет нуль в точке p =0), в противном случае статическая ошибка не равна нулю.

Для астатической системы относительно других видов сигнала передаточная функция ошибки для системы с астатизмом порядка n содержит множитель pⁿ (имеет нуль порядка n в точке p =0). В такой системе ошибка в установившемся режиме равна нулю при входном сигнале . Из передаточной функции ошибки (4.34) следует, что система РА имеет порядок n астатизма, если передаточная функция разомкнутой системы содержит n интегрирующих звеньев (имеет полюс порядка n в точке p =0).

Пример. Найти передаточные функции и ошибку в системе ФАПЧ (рис. 2.12), в которой ФНЧ описывается передаточной функцией

.

Решение. Все звенья в цепи сигнала ошибки от Dw до w_г включены последовательно, поэтому

, (6.9)

где k = k_фд k_фнч k_уэ k_пг – коэффициент передачи системы ФАПЧ; T_фд – постоянная времени фазового детектора.

Передаточная функция замкнутой системы в соответствии с выражением (4.30) записывается в виде

.

Передаточная функция ошибки определяется по (4.33)

.

Из найденных передаточных функций следует, что система ФАПЧ имеет первый порядок астатизма, поэтому ее статическая ошибка равна нулю. При сигнале w_э = ct ошибка определяется по (6.8) и имеет вид

.

Это выражение определяет динамическую ошибку системы ФАПЧ.

Как мы видим, помимо статических ошибок, которые были рассмотрены выше, точность работы систем РА характеризуется динамическими, а также переходными и среднеквадратическими ошибками (рис. 6.6).

Рис. 6.6 - Временная зависимость динамической и переходной

ошибок систем РА

Динамическая ошибка – ошибка в установившемся режиме работы системы при действии на нее нестационарного сигнала.

Переходная ошибка – ошибка при работе системы в переходном процессе, который возникает при отработке начального рассогласования.

Динамическая точность работы систем РА определяется при медленно изменяющихся входных сигналах (воздействия, число производных от которых ограничено). Сигнал (6.1) относится к медленно изменяющему воздействию, так как число производных от этого сигнала, не равных нулю, равно K, а K+1 – производная равна нулю. Гармонический сигнал не является медленно изменяющимся, так как число производных от него равно бесконечности.

Переходные процессы в системах РА затухают значительно быстрее по сравнению с изменением медленно изменяющегося сигнала, поэтому и достигается установившийся динамический режим работы системы.

В соответствии с определением передаточной функции ошибки (4.32) преобразование Лапласа для ошибки системы определяется по соотношению

, (6.10)

или в области действительного переменного

. (6.11)

Число слагаемых в последнем выражении ограничено, так как сигнал x(t) является медленно изменяющимся воздействием. Для нахождения неизвестных коэффициентов C_i, которые называют коэффициентами ошибки, известны три способа. Первым способом эти коэффициенты вычисляются по формуле

.

Вторым способом коэффициенты ошибок находятся путем деления числителя передаточной функции ошибки на ее знаменатель.

Наиболее удобным является третий способ. Передаточную функцию ошибки представим в виде

.

Перемножив полином знаменателя на (6.10), получим

. (6.12)

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p слева и справа в выражении (6.12), определим формулы для последовательного вычисления коэффициентов ошибок. В результате найдем, что

, , .

Из выражения (6.11) следует, что коэффициенты ошибок имеют размерность C_i.

В инженерных расчетах коэффициенты ошибок удобнее рассчитывать через коэффициенты передаточной функции разомкнутой системы:

. (6.13)

В таблице 6.1 приведены формулы для расчета первых трех коэффициентов ошибок статических и астатических систем РА через параметры передаточной функции (6.12) [2].

Таблица 6.1-Формулы расчета первых трех коэффициентов ошибок систем радиоавтоматики

n	Сi	Формулы для расчета
	С0
С1
С2
	С0
С1
С2
	С0
С1
С2

Первое слагаемое в выражении (6.11) называют ошибкой по положению, а коэффициент С₀ – коэффициентом ошибки по положению, второе слагаемое – ошибкой по скорости, а коэффициент С₁ – коэффициентом ошибки по скорости. Аналогично, третье слагаемое в (6.11) называют ошибкой по ускорению, а коэффициент С₂ – коэффициентом ошибки по ускорению.

Из анализа особенности передаточных функций астатических систем РА следует, что в таких системах n первых коэффициентов ошибок равны нулю, где n – порядок астатизма системы РА.

При анализе качества работы систем РА, кроме вычисления ошибок при медленно изменяющихся сигналах, необходимо оценивать точность и при гармонических воздействиях. В этом случае нельзя применять метод коэффициентов ошибок, так как число производных от гармонического сигнала не ограничено. Очевидно, что при этом для расчета ошибок необходимо использовать частотные характеристики. По АЧХ ошибки вычисляется амплитуда колебаний ошибки, а по ФЧХ – сдвиг колебаний ошибки относительно входного сигнала.

Пример. Найти динамическую ошибку при входном сигнале следящей системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии определяется выражением

.

Решение. Коэффициенты ошибок вычисляются по формулам таблицы 6.1:

, , .

Динамическая ошибка системы в соответствии с выражением (6.11):

.

Из этого выражения следует, что при увеличении коэффициента усиления системы и введения форсирующего звена ошибка уменьшается, увеличение же постоянных времени инерционных звеньев ухудшает динамическую ошибку системы.

Качество работы систем РА при случайных воздействиях оценивается по суммарной средней квадратической ошибке. В большинстве случаев закон распределения ошибки систем можно считать гауссовским, поэтому для расчета составляющих суммарной средней квадратической ошибки достаточно учесть математическое ожидание и корреляционную функцию ошибки или ее спектральную плотность.

Прежде чем рассматривать методы вычисления суммарной средней квадратической ошибки, установим, через какие передаточные функции в выражение для суммарной ошибки входят сигнал и помеха, полагая, что на вход системы подается воздействие вида

,

где – случайный сигнал; – случайная помеха.

Суммарная ошибка системы (рис. 6.7):

где – выходной сигнал системы.

Преобразование Лапласа для суммарной ошибки имеет вид

, (6.14)

где – передаточная функция замкнутой системы; – передаточная функция ошибки анализируемой системы; , – преобразования Лапласа для сигнала и помехи.

Рис. 6.7 - К определению суммарной ошибки системы РА

Из выражения (6.14) следует, что суммарная ошибка состоит из двух составляющих, одна из которых, определяющая точность воспроизведения сигнала, зависит от передаточной функции ошибки, вторая, обусловленная действием помехи – от передаточной функции замкнутой системы.

При анализе средней квадратической ошибки ограничимся случаем, когда сигнал и помеха являются стационарными случайными функциями. При этом математическое ожидание помехи будем полагать равным нулю, а случайный сигнал представим в виде

где – математическое ожидание сигнала; – случайная составляющая сигнала.

Математическое ожидание суммарной ошибки рассчитывают по теореме о конечном значении функции (Приложение П.1):

. (6.15)

Точность системы относительно случайных составляющих сигнала и помехи оценивается дисперсией ошибки

, (6.16)

где – дисперсия ошибка; – средняя квадратическая ошибка системы; – ошибка системы; M – математическое ожидание от квадрата ошибки; – автокорреляционная функция ошибки.

На основании эргодической теоремы автокорреляционную функцию ошибки находят как среднее по времени от произведения случайных составляющих ошибки, разделенных промежутком времени t:

, (6.17)

где – случайная составляющая суммарной ошибки.

По теореме свертки (Приложение П.1), согласно (6.14):

; (6.18)

,

где – импульсная переходная функция ошибки системы; – импульсная переходная функция замкнутой системы.

Так как рассматривают стационарный режим работы системы, то интегрирование в выражениях (6.18) берут от минус бесконечности.

Подставив выражение (6.18) в (6.17), найдем автокорреляционную функцию ошибки:

(6.19)

– автокорреляционная функция сигнала; – автокорреляционная функция помехи; и – взаимные корреляционные функции.

Подставив в (6.19) t нуль, получим дисперсию ошибки системы.

. (6.20)

Дисперсия ошибки может быть вычислена и через ее спектральную плотность, которая равна преобразованию Фурье от автокорреляционной функции ошибки системы (6.19):

.

Подставив в это выражение формулу (6.19), определим спектральную плотность ошибки системы:

, (6.21)

где – спектральная плотность сигнала; – спектральная плотность помехи; и – взаимные спектральные плотности.

Так как

,

то в соответствии с выражением (6.16) дисперсия ошибки

.

(6.22)

Если сигнал и помеха некоррелированы, то ; и выражения (6.18) – (6.22) упрощаются. Первое слагаемое в (6.22) зависит как от АЧХ ошибки системы, так и от статистических характеристик сигнала, оно определяет среднюю квадратическую ошибку воспроизведения сигнала x(t). Второе слагаемое в (6.22) зависит от АЧХ замкнутой системы и характеристик помехи. Оно характеризует ошибку системы вследствие действия помехи n(t). Последние два слагаемых в (6.22) – составляющие ошибки из-за корреляции сигнала с помехой и помехи с сигналом.

Величину

(6.23)

называют суммарной средней квадратической ошибкой системы РА.

Вычисление средней квадратической ошибки через ее автокорреляционную функцию (6.19) связано с некоторыми трудностями, одна из которых связана с нахождением импульсной переходной функции анализируемой системы РА, другая – с вычислением (6.20). Поэтому на практике среднюю квадратическую ошибку рассчитывают через спектральную плотность ошибки по формуле (6.22), вычисление интеграла в которой производится по формулам, приведенным в приложении П.2.

В инженерной практике среднеквадратическая ошибка также находится с помощью графоаналитического метода. Для этого строят графики, соответствующие отдельным слагаемым выражения (6.21). Дисперсия ошибки для некоррелированных сигнала и помехи , где и – площади по графиками спектральных плотностей (рис. 6.8).

Рис. 6.8 - К определению средней квадратической ошибки системы РА

На практике часто встречаются случаи, когда помеху можно считать белым шумом, спектральная плотность которого в пределах полосы пропускания системы РА постоянна.

При этом дисперсия ошибки системы из-за действия помехи определяется по формуле

.

Величину

, (6.24)

называют эффективной полосой пропускания системы РА, и она является основанием прямоугольника, площадь которого равна площади, ограниченной графиком квадрата АЧХ (рис. 6.9). Дисперсия ошибки системы РА из-за действия помехи вычисляется по выражению

. (6.25)

Рис. 6.9 - К определению эффективной полосы пропускания

системы РА

Выражения для расчета эффективной полосы пропускания систем РА наиболее часто встречающихся в радиотехнических устройствах приведены в таблице 6.2 [2].

Таблица 6.2 - Формулы расчета эффективной полосы

пропускания систем РА

Wp(p)	fэф

При анализе точности работы систем РА в реальных условиях возникает трудность моделирования помех. Однако, если использовать формирующий фильтр, то анализ систем РА относительно сигналов сводится к случаю действия на систему белых шумов.

Формирующий фильтр – устройство, позволяющее генерировать случайный сигнал с заданной спектральной плотностью из сигнала белого шума. Характеристики формирующего фильтра для стационарных случайных сигналов определяются в следующем порядке. Так как спектральная плотность сигнала является четной дробно-рациональной функцией частоты, то она может быть представлена в виде двух комплексно-сопряженных сомножителей вида

Передаточная функция формирующего фильтра имеет вид

.

Для расчета коэффициентов передаточной функции формирующего фильтра выражение для спектральной плотности сигнала нужно записать в виде

. (6.26)

Вычислив квадрат модуля в левой части (6.26) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях частоты слева и справа, получим уравнения для определения коэффициентов передаточной функции формирующего фильтра a_i и b_i.

Формирующий фильтр и анализируемая система РА образует некоторую расширенную систему (рис. 6.10), на вход которой действует помеха, являющаяся белым шумом. Если помеха не является белым шумом, то в схему необходимо включить формирующий фильтр, который из белого шума будет генерировать случайную помеху с заданной спектральной плотностью.

Рис. 6.10 - Схема включения формирующего фильтра

Пример. Найти передаточную функцию формирующего фильтра для сигнала, возникающего из-за колебаний летательного аппарата, спектральная плотность которого

.

Решение. В соответствии с выражением (6.26) спектральная плотность будет равна

.

Из последнего выражения найдем, что

b₀ = 1; b₁ = T_к0;

a₁ = 1; ; .

Таким образом, передаточная функция формирующего фильтра имеет вид

, (6. 27)

где .

На вход формирующего фильтра с передаточной функцией (6.27) нужно подать белый шум с уровнем спектральной плотности N_к.

Пример. Определить среднюю квадратическую ошибку системы автоматического сопровождения цели РЛС, передаточная функция которой в замкнутом состоянии имеет вид

,

где T₁ = 0,37 с; T₂ = 0,5 с; T₃ = 0,14 с.

На систему поступают:

1. Сигнал, обусловленный перемещением сопровождаемой цели относительно РЛС, установленной на летательном аппарате. Математическое ожидание и спектральная плотность случайной составляющей этого сигнала определяется выражениями

, ,

где a = 0,175 рад × с^–1; N_x = 3,05 × 10^–4 рад² × с; T_x = 20 с.

2. Случайное воздействие, возникающее из-за колебаний летательного аппарата относительно центра масс. Спектральная плотность этого воздействия

,

где N_к = 0,15 × 10^–4 рад²; T_к = 0,4 с; T_к0 = 2,5 с; 4x² = 1.

3. Угловой шум, возникающий из-за того, что центр отражения радиолокационного сигнала «блуждает» по сопровождаемой цели. Этот шум можно считать белым с уровнем спектральной плотности , где L – геометрический размер цели; R – дальность до сопровождаемой цели.

4. Помехи, обусловленные тепловым шумом приемника РЛС и флуктуациями отраженного от цели сигнала. Эти воздействия при анализе можно считать белыми шумами и объединить в одно воздействие с уровнем спектральной плотности , где N_ф = 0,31 × 10^–6 рад × с.

Решение. Математическое ожидание (динамическая ошибка системы) в соответствии с выражением (6.15)

рад,

где – передаточная функция ошибки системы автоматического сопровождения цели РЛС.

Дисперсия ошибки системы относительно случайной составляющей сигнала вычисляется по формуле (6.22), в которой спектральная плотность под знаком интеграла

,

где – частотная характеристика формирующего фильтра сигнала.

Таким образом, дисперсия ошибки относительно сигнала будет определяться как

(6.28)

Таким образом, средняя квадратичная ошибка исследуемой системы равняется сумме квадратов ошибок, обусловленных действиями на систему мешающих воздействий и помех.