Предварительное вычисления

и следовательно

 

Искомый многочлен y=1,09x-0,28

 

Лекция 18

 

Задачи на собственные значения

Основные понятия

Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области вычислительной математики требует нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Введем некоторые определения для изложения материала данного параграфа.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка.

 

 

Рассмотрим систему Ax=hx (1)

Когда система (1) имеет не нулевое решение (1)

тогда (2)

или

=0 (2)

 

Выражение (2) называется характеристическим или весовым полиномом относительно h

Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

Они характеризуются тем свойством, что дают нетривиальные решение системы(1) . Чтобы было нетривиальное решение необходимо и достаточно (2) Действительно, если вместо стоит один из корней собственного полинома , то выражение (2) обращается в 0. И для этого существует ненулевое решение системы (1). Это решение и является собственным вектором. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы A является основной задачей теории устойчивости, надежности и т.п. Существует много методов нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример

Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы

 

 

Решение. Составим характеристический многочлен

 

Для нахождения собственных векторов и соответствующих значениям и Составим системы уравнений типа для каждого из них при

Или запишем в виде системы уравнений

Эти уравнения линей зависимы (даже совпадают) поэтому оставим одно из них.

Полагаем и собственный вектор соответствующий числу имеет вид или, , где и единичные орты выбранной системы координат.

Аналогично находим первый собственный вектор, соответствующий собственному числу

 

Отсюда

Вектор нормирован, нормируемый вектор , разделив его компоненты на наибольшую из них получим

Можно даже привести векторы к единичной длине разделив его компоненты на значения модулей векторов.

В этом случае

 






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 829; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2019 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.008 сек.