Предварительное вычисления
и следовательно
Искомый многочлен y=1,09x-0,28
Лекция 18
Задачи на собственные значения
Основные понятия
Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области вычислительной математики требует нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.
Введем некоторые определения для изложения материала данного параграфа.
Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка.
Рассмотрим систему Ax=hx (1)
Когда система (1) имеет не нулевое решение (1)
тогда (2)
или
=0 (2)
Выражение (2) называется характеристическим или весовым полиномом относительно h
Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.
Они характеризуются тем свойством, что дают нетривиальные решение системы(1) . Чтобы было нетривиальное решение необходимо и достаточно (2) Действительно, если вместо стоит один из корней собственного полинома , то выражение (2) обращается в 0. И для этого существует ненулевое решение системы (1). Это решение и является собственным вектором. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы A является основной задачей теории устойчивости, надежности и т.п. Существует много методов нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А.
Рассмотрим некоторые из них.
Пример
Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы
Решение. Составим характеристический многочлен
Для нахождения собственных векторов и соответствующих значениям и Составим системы уравнений типа для каждого из них при
Или запишем в виде системы уравнений
Эти уравнения линей зависимы (даже совпадают) поэтому оставим одно из них.
Полагаем и собственный вектор соответствующий числу имеет вид или, , где и единичные орты выбранной системы координат.
Аналогично находим первый собственный вектор, соответствующий собственному числу
Отсюда
Вектор нормирован, нормируемый вектор , разделив его компоненты на наибольшую из них получим
Можно даже привести векторы к единичной длине разделив его компоненты на значения модулей векторов.
В этом случае
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1523;