Предварительное вычисления

и следовательно

Искомый многочлен y=1,09x-0,28

Лекция 18

Задачи на собственные значения

Основные понятия

Большое число научно-технических задач, а также некоторые исследования в области вычислительной математики требует нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Введем некоторые определения для изложения материала данного параграфа.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка.

Рассмотрим систему Ax=hx (1)

Когда система (1) имеет не нулевое решение (1)

тогда (2)

или

=0 (2)

Выражение (2) называется характеристическим или весовым полиномом относительно h

Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

Они характеризуются тем свойством, что дают нетривиальные решение системы(1) . Чтобы было нетривиальное решение необходимо и достаточно (2) Действительно, если вместо стоит один из корней собственного полинома , то выражение (2) обращается в 0. И для этого существует ненулевое решение системы (1). Это решение и является собственным вектором. Поиск собственных значений и собственных векторов матрицы A является основной задачей теории устойчивости, надежности и т.п. Существует много методов нахождения собственных векторов и собственных значений матрицы А.

Рассмотрим некоторые из них.

Пример

Вычислить собственные числа и собственные векторы матрицы

Решение. Составим характеристический многочлен

Для нахождения собственных векторов и соответствующих значениям и Составим системы уравнений типа для каждого из них при

Или запишем в виде системы уравнений

Эти уравнения линей зависимы (даже совпадают) поэтому оставим одно из них.

Полагаем и собственный вектор соответствующий числу имеет вид или, , где и единичные орты выбранной системы координат.

Аналогично находим первый собственный вектор, соответствующий собственному числу

Отсюда

Вектор нормирован, нормируемый вектор , разделив его компоненты на наибольшую из них получим

Можно даже привести векторы к единичной длине разделив его компоненты на значения модулей векторов.

В этом случае