Метод наименьших квадратов
Запишем сумму квадратов отклонений (3) для всех точек :
(4)
Параметры эмпирической формулы (2) будем находить из условий min функции .В этом состоит метод наименьших квадратов.
Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых функций S, то её min найдём приравнивая к нулю частные производные по этим переменным:
(5)
Полученные соотношения – системы управления для определения
Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемых на примере. В качестве эмпирической формулы рассмотрим многочлен
(6)
Формула (4) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид
(7)
Для составления системы уравнений (5) найдем частные производные функции S=S( )
или
Решая последнюю систему относительно и получим многочлен (6)
Систему (9) можно записать в более компактном виде
где (m)
Лекция 17
Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде:
Задана эмпирическая зависимость в табличной форме.
x | 0,75 | 1,50 | 2,25 | 3,00 | 3,75 |
y | 2,50 | 1,20 | 1,12 | 2,25 | 4,28 |
Найти зависимость y=f(x)
Решение
Если изобразить табличные значения на графике (1) то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т.е.
квадратный трёхчлен
В данном случае m=2 n=4 и система (10) пример вид
Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (11) i=0,1,2,3,4
Система уравнений (12) запишем в виде
Отсюда находим параметры таким образом (13)
Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.е. найдем значение результаты вычисления представим в виде таблицы
0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 | 2,66 1,12 0,92 2,06 4,54 | 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 | 0,16 -0,08 -0,20 -0,19 0,26 | 0,064 -0,067 -0,179 -0,084 0,061 |
Пример Пусть на основании эксперимента получим значения функции y=f(x), которые записаны в таблицу
x | 0,5 | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 |
y | 0,31 | 0,82 | 1,29 | 1,85 | 2,51 | 3,02 |
С помощью метода наименьших квадратов функцию y=f(x) аппроксимировать линейной функцией
Решение Составим систему для определения и
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 2150;