Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений (3) для всех точек :

(4)

 

Параметры эмпирической формулы (2) будем находить из условий min функции .В этом состоит метод наименьших квадратов.

 

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых функций S, то её min найдём приравнивая к нулю частные производные по этим переменным:

(5)

Полученные соотношения – системы управления для определения

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемых на примере. В качестве эмпирической формулы рассмотрим многочлен

(6)

 

Формула (4) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

(7)

Для составления системы уравнений (5) найдем частные производные функции S=S( )

или

 

Решая последнюю систему относительно и получим многочлен (6)

Систему (9) можно записать в более компактном виде

 

где (m)


Лекция 17

Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде:

 

Задана эмпирическая зависимость в табличной форме.

x 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75
y 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28

Найти зависимость y=f(x)

Решение

Если изобразить табличные значения на графике (1) то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т.е.

квадратный трёхчлен

 

 

 

В данном случае m=2 n=4 и система (10) пример вид

Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (11) i=0,1,2,3,4

 

 

Система уравнений (12) запишем в виде

 

Отсюда находим параметры таким образом (13)

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.е. найдем значение результаты вычисления представим в виде таблицы

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 2,66 1,12 0,92 2,06 4,54 2,50 1,20 1,12 2,25 4,28 0,16 -0,08 -0,20 -0,19 0,26 0,064 -0,067 -0,179 -0,084 0,061

 

Пример Пусть на основании эксперимента получим значения функции y=f(x), которые записаны в таблицу

x 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
y 0,31 0,82 1,29 1,85 2,51 3,02

С помощью метода наименьших квадратов функцию y=f(x) аппроксимировать линейной функцией

 

Решение Составим систему для определения и

 






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1389; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.017 сек.