Метод наименьших квадратов

Запишем сумму квадратов отклонений (3) для всех точек :

(4)

Параметры эмпирической формулы (2) будем находить из условий min функции .В этом состоит метод наименьших квадратов.

Поскольку здесь параметры выступают в роли независимых функций S, то её min найдём приравнивая к нулю частные производные по этим переменным:

(5)

Полученные соотношения – системы управления для определения

Рассмотрим применение метода наименьших квадратов для частного случая, широко используемых на примере. В качестве эмпирической формулы рассмотрим многочлен

(6)

Формула (4) для определения суммы квадратов отклонений S примет вид

(7)

Для составления системы уравнений (5) найдем частные производные функции S=S( )

или

Решая последнюю систему относительно и получим многочлен (6)

Систему (9) можно записать в более компактном виде

где (m)

Лекция 17

Пример: метод наименьших квадратов для вывода эмпирической формулы, заданной в табличном виде:

Задана эмпирическая зависимость в табличной форме.

Найти зависимость y=f(x)

Решение

Если изобразить табличные значения на графике (1) то легко убедиться, что в качестве эмпирической формулы для аппроксимации функции y=f(x) можно принять параболу, т.е.

квадратный трёхчлен

В данном случае m=2 n=4 и система (10) пример вид

Коэффициенты этой системы могут быть вычислены по формулам (11) i=0,1,2,3,4

Система уравнений (12) запишем в виде

Отсюда находим параметры таким образом (13)

Оценим относительные погрешности полученной аппроксимации в заданных точках, т.е. найдем значение результаты вычисления представим в виде таблицы

0,75 1,50 2,25 3,00 3,75	2,66 1,12 0,92 2,06 4,54	2,50 1,20 1,12 2,25 4,28	0,16 -0,08 -0,20 -0,19 0,26	0,064 -0,067 -0,179 -0,084 0,061

Пример Пусть на основании эксперимента получим значения функции y=f(x), которые записаны в таблицу

С помощью метода наименьших квадратов функцию y=f(x) аппроксимировать линейной функцией

Решение Составим систему для определения и