Метод конечных разностей решение краевых задач ОДУ.

Пусть дана краевая задача ОДУ

Требуется решить такое уравнение. Отрезок [a, b] разбивается точками на равные части xj=x0+jh. Точки разделяются на внутренние 1 ≤ j ≤ n-1 и граничные j=0 и j=n. Затем производные входящие в уравнение (1) заменяются в точках хi приближенными конечно-разностными соотношениями.

y`(xi)= ~0(h) (*)

= ~0(h2)

= ~0(h2)

И подставим равенства (*0 в уравнение (1), получим

(2)

Преобразуем (2) к виду (3), получишь

(3)

 

c0 y0- b0 y1…………………..=f0 j=0

(4) ……-aj yj-1+cj yj-bj yj+1….......=fj 1≤ j≤ n-1

………………...-an yn-1+cnyn=fn j=n

 

Или

=

Полученную систему решаем методом прогонки, которую мы рассматривали в системах линейных уравнений.

 

 

Лекция 10

 

 

Сплайны.

Пусть есть функция f(x) заданная в узлах отрезка [a,b]. Пусть заданны узлы интерполяции x0x1…xn xi [a,b] в которых заданны значения функции f(x0) f(x1)… f(xn) [x0x1], [x1x2]… [xn-1xn]~∆- разбиения.

Будем приближать функцию f(x) на каждом отрезке ∆~[xj-1xj] полиномом

Pj,m(x)=a0j+a1jx+…+ anjxm

Сплайном назовем S(x) функцию совпадающую на каждом участке [xj-1xj] с полиномом Pj,m(x) и такую, что во всех внутренних узлах непрерывную вместе со своими производными до (m-1) порядка включительно во всех точках xi i=1, n-1.

Кубический сплайн.

Будем считать, что на каждом участке [xj-1xj] мы приближаем полином 3=ей степени.

Pj,3(x)=ax3+bx2+cx+d, тогда

(1)

Найдем S(x) для чего проинтегрируем дважды (1), получим

Найдем с1 и с2 из условия S(xj-1)= y j-1 S(xj)= y j

C1hj=yj- Mj => C1hj=yj-yj-1+

C1=

C2=

Поскольку S`(xj-0)= S(xj+0)

Приравнивая получаем

 

(2)

λj= μi= λj+ μi=1

μiMj-1+2Mj+ λj Mj=dj j=1,n-1

Полученная система служит для определения M0 M1… Mn, подставляя в формулы (х) и (х*) получим, что полином удовлетворяет 3-м свойствам

1) S(xj-0)= S(xj+0)

2) S`(xj-0)= S` (xj+0)

3) S``(xj-0)= S``(xj+0)

 

Лекция 11






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1165; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.022 сек.