Обусловленность систем линейных уравнений число обусловленности.
Задача над плохо обусловленной, если вычисляемые величины X очень чувствительны к небольшим изменениям исходных данных. Рассмотрим причины, определяющие решения X систем Ax=U (1)
Изменим правую часть U на U+δU, это приведет к изменениям решения x на x+δx и при постоянной матрице A, имеем:
A(x+ δx) = U+δU (2)
Из (1) (3)
Из (2) имеем Aδx=δUàδx=A-1δU=> (4)
Перемножим (3) и (4) получим
(5)
Число k(A)= называют числом обусловленности. Если число k(A) велико, то для большинства правых частей решение ненадежно. Это же число может быть использовано и для других задач. Пусть, например, δх – погрешность вызвана погрешностью δА элементов матрицы А, а правые части заданны точно, тогда имеем
(A+ δA)( x+ δx)=U
Из (1) имеем x=A-1U (6)
x+ δx= (A+ δA) -1U (6a)
A-1U+ δx= (A+ δA) -1U=> δx= [(A+ δA) -1- A-1]U=> (7)
(A+ δA) -1- A-1=[I- A-1 (A+ δA) ] (A+ δA) -1=-A-1δA(A+δA)-1
Подставляя в (7) получим
δx=-A-1δA(A+ δA) -1U
δx=-A-1δA( x+ δx)
(8)
Число обусловленности обладает рядом свойств
1) k(CA)=
2) k(A)=k(A-1)
3) k(A)= k(A)≥1
4) Если m-min значение матрицы; M-max значение матрицы, то
и
Отсюда следует наличие малого собственного значения матрицы А обязательно означает её плохую обусловленность. Однако матрица А может быть плохо обусловленной, когда у неё нет малого собственного значения. Например, наименьшее собственное значение матрицы 100го порядка
Равен m=0,501. Если же рассмотреть систему Ax=U c , где , то имеем
То получим
Первая компонента решения Ax=U система больше, чем 1022, т.е.
Отсюда
В свою очередь для любой матрицы
и следовательно
Матрица плохо обусловлена
Пример
Рассмотрим систему
Точное решение x=1 и y=1
В рассматриваемом примере матрица системы AX=U симметрична и имеет собственное значение
m=0,00005
M=1,98005
Здесь
Система плохо обусловлена, а значит следует ожидать, что малые значения (сдвиг) правых частей приведут к большому изменению решения
, т.е. рассмотрим систему
x+0, 99y=1, 989903
0, 99x + 0,98y=1,970106
То получим решение x=3,000 y=-1,0203, т.е.
Здесь
Значит небольшое изменение δU влечет за собой изменение относительной погрешности вычислительных величин на 200%. Задача плохо обусловлена.
Лекция 14
Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 3793;