Приведение систем к виду, допускающему применение метода простых итераций.

Обычно система линейных уравнений задана в виде

и для приведения её к виду x=Bx+b, допускающего применение метода простых итераций. Подбирают невырожденную матрицу H (det H≠0), так чтобы

Ax=b => HAx= Hb=> x- x+ HAx= Hb=>

X= x- HAx +V=> x= (I-HA)x+ V

Берем B=I-HB

Тогда получаем x= Bx+ V, причем

Матрицу H целесообразно близко к A-1 так, чтобы HA~I. Так, например, если в матрице A вдоль главной диагонали элементы преобладают над остальными, то берут

 

Если матрица A=A* самосопряженная и положительно определенная A*=A и λ у матрицы A положительна, у которой известны её max и min собственные значения.

 

0≤ m≤M, то полная H= tI получим

Т.к. надо найти , то

1) -(1-tm)=-(1-tM)

2) 1-tm=1-tM

3) -(1-tm)=(1-tM)

4) 1-tm=-(1-tM)

(3) и (4) 1-tm=-(1-tM)=>2=t(M+n)=>t=

(1) и (2) 1-tm=1-tM=> t(M-m)=0 t=0 это не берем

Тогда

х*= Bx*+b

xk= Bxk-1+b

x*-xk=B(x*-xk-1)=BB(x*-xk-2)=…=Bk(x*-x0)

Получим max скорость сходимости

Пример простой итерации решить систему

Пример

Приведем систему к нормальному виду x=Bx+V

x=Bx+ V

 


=

 

Метод простой итерации сходится за

 

Тогда x1=2,9935 x2=1,0068 x3=1,0068

Или x1≈3 x2≈1 x3≈1

Метод Зейделя.

Решение системы Ax=U по методу Зейделя производится по формулам

 

Если при вычислении i-той координаты вектора

учитывается найденные заранее уже координаты

То вычисления будут проходить по формулам Зейделя.

 

Лекция 13






Дата добавления: 2016-07-27; просмотров: 1623; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2020 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей. | Обратная связь
Генерация страницы за: 0.007 сек.