Приклади визначення переміщень

Приклад 2.1.1 Для консольної балки, що навантажена силою та розподільним навантаженням на ділянці довжиною визначити вертикальне переміщення перерізу − .

Дано: . Визначаємо опорні реакції (рис. 2.6 а).

Рисунок 2.6

Навантажуємо балку одиничною силою у точці А (рис. 2.6 б), де треба визначити переміщення і визначаємо опорні реакції .

Записуємо рівняння згинальних моментів на ділянках балки від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження .

Визначаємо вертикальне переміщення перерізу − двома способами. По-перше, застосуємо інтеграл Максвелла – Мора:

Додатне значення прогину зазначає, що переріз переміщується в напрямку дії одиничного зусилля .

По-друге, для визначення прогину в перерізі А застосуємо графоаналітичний спосіб. Для цього необхідно мати епюри згинального моменту від зовнішнього (рис. 2.6 в) та одиничного (рис. 2.6 г) навантажень. На ділянці, де − квадратична парабола, необхідно використовувати правило Симпсона – Корноухова (2.6), а на ділянці з лінійною залежністю – правило трапецій (2.5):

Двома методами отримано однакові результати, тому у наступних прикладах використовуємо графоаналітичний спосіб Верещагіна.

Приклад 2.1.2

Для шарнірно обпертої балки, навантаженою згинальним моментом та силою , визначити кутове переміщення в точці − . Дано: Визначаємо опорні реакції (рис. 2.7 а).

Рисунок 2.7

Навантажуємо балку одиничним моментом в перерізі А (рис. 2.7 б), де треба визначити кутове переміщення і визначаємо опорні реакції :

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках балки та будуємо епюри (рис. 2.7 в,г).

Визначаємо кут повороту графоаналітичним методом. На ділянках 2 та 3 використаємо правило Верещагіна, на ділянці 1 – правило трапецій:

Негативне значення кута повороту зазначає, що переріз А повертається в напрямку протилежному дії одиничного моменту , тобто в напрямку обертання часової стрілки.

Приклад 2.1.3

Для рамної конструкції, шарнірно обпертої в точках і , визначити повне лінійне переміщення в точці − . Дано:

Рисунок 2.8

Визначаємо опорні реакції :

Визначення повного переміщення точки А складається з двох частин: знаходження вертикального та горизонтального переміщень.

Для визначення вертикального переміщення допоміжну систему (рис. 2.9) навантажуємо одиничною вертикальною силою у точці А, де треба визначити це переміщення і визначаємо опорні реакції

Рисунок 2.9

.

В більшості випадків при визначенні переміщень в балках та пласких рамах можна враховувати тільки вплив згинального моменту.

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках рами та будуємо епюри (рис. 2.10 а,б):

Рисунок 2.10

Для визначення вертикального переміщення в перерізі А використаємо графоаналітичний метод Верещагіна:

Для визначення горизонтального переміщення допоміжну систему навантажуємо одиничною горизонтальною силою у точці А, визначаємо опорні реакції (рис. 2.11)

Рисунок 2.11

Записуємо рівняння згинальних моментів від зовнішніх навантажень і одиничного навантаження на ділянках рами:

Будуємо відповідні епюри (рис. 2.12).

Рисунок 2.12

Визначаємо горизонтальне переміщення в перерізі :

Вектор повного переміщення дорівнює векторній сумі вертикального та горизонтального переміщень (рис. 2.8). Його числове значення визначається за формулою: