Канонічні рівняння методу сил

Додаткові рівняння переміщень, що виражають рівність нулю переміщень (лінійних або кутових) у напрямках зайвих невідомих, зручно складати в так званій канонічній формі, тобто за певною закономірністю.

Спочатку розглянемо систему, один раз статично невизначувану (рис. 2.17 а). Як зайве невідоме виберемо реакцію в опорі В. Тоді, навантаживши основну систему заданим навантаженням і зайвою невідомою силою (еквівалентна система − рис. 2.17 б), прирівняємо до нуля повне переміщення точки В основної системи в напрямі :

Рисунок 2.17

(2.7)

Обчислюючи , застосуємо принцип незалежності дії сил:

,

де – переміщення від заданого навантаження (рис. 2.17 в); – переміщення від сили .

Якщо – переміщення в напрямі від сили (рис. 2.17 г), то , і рівняння переміщень (2.7) набирає вигляду:

(2.8)

Це канонічна форма рівняння переміщень для один раз статично невизначуваної системи.

Для системи з двома зайвими зв’язками додаткові рівняння мають вигляд: де – повне переміщення в напрямі від заданого навантаження та зайвих невідомих сил і ; – повне переміщення в напрямі від заданого навантаження та зайвих невідомих сил і .

Виходячи з принципу незалежності дії сил, запишемо переміщення та у вигляді сум переміщень, спричинених окремо кожною з невідомих сил , та заданим навантаженням . Використовуючи вибрані раніше позначення переміщень, знаходимо:

За аналогією можна записати в канонічній формі рівняння переміщень для будь-якої n разів статично невизначуваної системи:

Повне переміщення можна визначити як добуток одиничного переміщення , спричиненого дією одиничної сили , на відповідну узагальнену силу : , тоді система рівнянь методу сил у канонічній формі набуває вигляду:

(2.9)

де – кількість зайвих зв'язків (ступінь статичної невизначуваності) системи.

Коефіцієнти рівнянь (2.9) являють собою лінійні зміщення або кути повороту в основній (статично визначуваній) системі від дії сил і моментів , доданих по напрямкам невідомих зусиль. Вільні члени визначають відповідні узагальнені переміщення, викликані заданим зовнішнім навантаженням.

Коефіцієнти і вільні члени канонічних рівнянь (2.9) обчислюються за допомогою інтегралу Максвелла − Мора:

(2.10)

де складання проводиться по усім дільницям пружної системи.

Для визначення інтегралів Мора (2.10) необхідно мати відповідні епюри , які будують для основної системи, що навантажена тільки силами кожною окремо, а також «вантажні» епюри , які будують також для основної системи, але від заданого зовнішнього навантаження.

На відміну від просторової стержньової системи для багатопрольотної балки у виразі (2.10) залишаються складові, що містять згинальний момент та поперечну силу, а для плоскої рами − згинальний момент, поперечну і поздовжню сили.

В інженерних розрахунках реальних конструкцій дію поперечних та повздовжніх сил можна не враховувати, оскільки вони вносять незначний вклад у кінцевий результат. Тому вираз (2.10) набуває вигляд:

. (2.11)

Коефіцієнти канонічних рівнянь (2.9) визначають за формулою

На підставі теореми про взаємність переміщень [1].

Значення коефіцієнтів канонічних рівнянь, як показують вирази (2.10), залежать від співвідношення згинальних , та крутної жорсткостей поперечних перерізів стержньової системи та довжин відповідних ділянок стержня.

Якщо рама зібрана з прямолінійних стержнів постійної згинальної і крутної жорсткості, то безпосереднє інтегрування в формулі Мора можна замінити перемноженням епюр по способу Верещагіна (2.3).