Применение формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лангранджа.

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

в точке х₀, если f(x)-y_кас<0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) вниз в

точке х₀, если f(x)-y_кас>0 в О(х₀)

Определение: Пусть функция f(x) – дифференцируема в

точке х₀, то она называется выпуклой (вогнутой) в верх

(вниз) на интервале (a,b), если она выпукла в верх (вниз)

в каждой точке этого интервала.

Определение: (точки перегиба) Пусть функция f(x) диф-

ференцируема в О°(х₀) и непрерывна в О(х₀). Точка х₀ –

называется точкой перегиба графика f(x), если при пере-

ходе через точку меняется знак выпуклости.

Теорема: (о достаточном условии выпуклости функции).

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀ и f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)>0), тогда f(x) – выпукла вверх (вниз) в тоске х₀.

Доказательство: Напишем формулу Тейлора с остаточным членом в форме пеано:

Если х близко к х₀, то знак квадрата скобки определяется знаком f(x₀). Если f’’(x₀)<0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀).

Если f’’(x₀)>0, то f(x)-y_кас>0 в О°(х₀)

Теорема: Путь функция f(x) непрерывна в О(х₀) и дважды дифференцируема в О°(х₀), причём f’(x) меняет знак при переходе через точку х₀, тогда точка х₀ – точка перегиба.

Доказательство:

f’’(x) - +

^{( · ) x}

x₀

f’’(x)<0 в O°^-(x₀)Þ f(x) – выпукла вверх в О°^-(х₀)

f’’(x)>0 в O°⁺(x₀)Þ f(x) – выпукла вниз в О°⁺(х₀)

Следствие: Если f(x) дважды дифференцируемы в точке х₀. Если точке х₀ точка перегиба, то f’’(x₀)=0

Путь точка х₀ точка перегиба и существует f’’(x₀)>0, тогда

то есть при переходе через точку х₀ левая часть равенства f(x)-y_кас не меняет знак. Аналогично получаем для f(x)>0 f’’(x₀)=0

Замечание: Условие равенства f’’(x₀)=0 необходимо, но недостаточно.

Теорема: (о достаточном условие экстремума по второй производной)

Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в точке х₀, тогда точка х₀ точка максимума если f’’<0, точка х₀ точка минимума если f’’(x₀)>0.

Доказательство:

При х достаточно большим и х₀ знак в квадратных скобках совпадает со знаком f’’(x₀)Þ f(x)-f(x₀)>0 в О°(х₀), если f’’(x₀)>0 то есть f(x)>f(x₀) в О°(х₀)Þ х₀ точка минимума, если f(x)-f(x₀)<0 в О°(х₀), и если f’’(x₀)<0 то есть f(x)<f(x₀) в О°(х₀)Þ х₀ точка максимума.

Замечание: Если f’(x₀)=0 и f’’(x₀)=0, то нужны дополнительные исследования.