Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x) " xÎ(a,b), тогда эта производная сама является функцией х g(х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует g’(x) " xÎ(a,b), то мы называем её второй производной g’(x)ºf’’(x)

Лекция №14

Тема: Производная функции высшего порядка.

f⁽ⁿ⁾=^def=(f^(n-1)(x))’

’’’ – [dⁿf(x)]/dxⁿ=(d/dx)([d^n-1f(x)]/dxⁿ)

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа1)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)¹0, "xÎ(a,b), тогда $ с Î (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)¹g(a), так как по теореме Лангранджа¹ для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c₁)II (b-a)III¹0 ($c₁Î(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-lg(X) где l -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-lg(b)

---

F(a)=f(a)-lg(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-l(g(b)-g(a)) Þl=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля4

$сÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-lg’(c) Þ l=f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или ¥/¥ при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х₀), g’(x₀)¹0 в О°(х₀), f(x₀)=g(x₀)=0 и $

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда $ lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x₀)]/g(x)-g(x₀)=lim f’(c(x))/g’(c(x))=|$ c=c(x) лежащая между х их₀ если

^x®x_° ^x®x_° ^x®x_°

х®х₀ то с®х₀|=lim f’(x)/g’(x)=k

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х₀ многочлен (полином) вида

T_n(х)=f(x₀)+[f’(x₀)(x-x₀)]/1!+ [f’’(x₀)(x-x₀)²]/2!+ [fⁿ(x₀)(x-x₀)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х₀ или многочленом по степеням (х-х₀)