Производная функции высшего порядка.

Существует f’(x) " xÎ(a,b), тогда эта производная сама является функцией х g(х)=f’(x) и можно ставить о дифференцируемости этой функции.

Существует g’(x) " xÎ(a,b), то мы называем её второй производной g’(x)ºf’’(x)

 


Лекция №14

Тема: Производная функции высшего порядка.

 

f(n)=def=(f(n-1)(x))’

 

’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

 

Теорема: (Коши – обобщение теоремы Лангранджа1)

Пусть функция f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b) и g’(x)¹0, "xÎ(a,b), тогда $ с Î (a,b) такая, что [f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f’’(c)/g’(c)

Доказательство: Отметим прежде всего, что g(b)¹g(a), так как по теореме Лангранджа1 для функции g(x)

g(b)-g(a)=g’(c1)II (b-a)III¹0 ($c1Î(a,b)) Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)-lg(X) где l -неизвестное число

F(x) – непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b)

Потребуем F(a)=f(b)

F(b)=f(b)-lg(b)

---

F(a)=f(a)-lg(a)

___________________

0=f(b)-f(a)-l(g(b)-g(a)) Þl=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]. Получим, что F(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля4

$сÎ(a,b):F’(c)=0, то есть F’(c)=f’(c)-lg’(c) Þ l=f’(c)/g’(c)=[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)], что и требовалось доказать.

Правила Лопиталя.

Это правило в случае дифференцируемости функции позволяет избавляться от неопределённостей типа 0/0 или ¥/¥ при вычисление пределов.

Теорема: Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в О(х0), g’(x0)¹0 в О°(х0), f(x0)=g(x0)=0 и $

lim f’(x)/g’(x)=k (конечный или бесконечный предел), тогда $ lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

x®x° x®x° x®x°

Доказательство: lim f(x)/g(x)=lim [f(x)-f(x0)]/g(x)-g(x0)=lim f’(c(x))/g’(c(x))=|$ c=c(x) лежащая между х их0 если

x®x° x®x° x®x°

х®х0 то с®х0|=lim f’(x)/g’(x)=k

x®x°

Замечание(1): f(x0)=g(x0)=0 требование можно заменить требованием lim f(x)=0, lim g(x)=0, то есть в т х0 f(x) и

x®x° x®x°

g(x) могут иметь устранимый разрыв, действительно достаточно переопределить или доопределить f(x) и g(x) по непрерывности, так чтобы f(x0)=g(x0)=0

Замечание(2): Если $ f’(x0) и g’(x0), g’(x0)¹0, то утверждение теоремы будет:

lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=lim [(x-x0)(f’(x0)+a(x-x0))]/ [(x-x0)(g’(x0)+b (x-x0))]=f’(x0)/g’(x0)

x®x° x®x° x®x°

Теорема: (¥/¥) Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в О°(х0), g'(x)¹0 и О°(х0), дифференцируемы в О°(х0) и

lim f(x)=lim g(x)=¥; $ lim f’(x)/g’(x)=k. Тогда lim f(x)/g(x)=lim f’(x)/g’(x)=k

x®x° x®x° x®x° x®x° x®x°

Без доказательства!

Замечание: Если функции f’(x) и g’(x) сами удовлетворяют условия теоремы то правило Лопиталя можно применить повторно:

f(x)=ex g(x)=xn x®¥

lim ex/xn= lim ex/1!=¥ "nÎN lim ex/xn= lim ex/nxn-1= lim ex/[n(n-1)xn-2]=lim ex/n!=+¥

x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥ x®+¥

f(x)=lnx

x®+¥

g(x)=xn

lim lnx/xn= lim (1/x)/nxn-1= lim 1/nxn=0

x®+¥ x®+¥ x®+¥

Формулы Тейлора.

Определение: (многочлена Тейлора) Пусть функция y=f(x) – n – раз дифференцируема в точке х0 многочлен (полином) вида

Tn(х)=f(x0)+[f’(x0)(x-x0)]/1!+ [f’’(x0)(x-x0)2]/2!+ [fn(x0)(x-x0)]/n! называется многочлен Тейлора с центром в точке х0 или многочленом по степеням (х-х0)






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1533; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.013 сек.