Дифференциал функции.

Определение: Пусть y=f(x) определена в некоторой О(х0) – она называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение в этой точки представимо в виде:

∆y=∆f(x0)=A∆x+a(∆x)∆x)1

a(0)=0 A=const

Определение: линейная ∆х часть приращение дифференцируемой функции называется дифференциалом функции в точке х0:

dy=df(x0)ºA∆x

Теорема: Если функция дифференцируема в точке х0 то A=f’(x0), то она имеет производную в этой точке, то A=f’(x0); наоборот если функция имеет производную в этой точке, то она дифференцируема в этой точке – называется дифференциалом.

Доказательство:Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, то есть в некоторой О(х0) справедливо равенство ∆f(x0)=A∆x+a(∆x)∆x1; a(0)=0. Поделим обе части этого равенства на ∆х и приведём к пределу при ∆х®0:

lim(∆f(x0))/∆x=lim(A+a(x))=A. Этот предел существует, меньше ¥, тогда по определению этот предел есть

x®0 ∆x®0

производная.

Доказательство: (в обратную сторону) Пусть в точке х0 $ f’(x0)(<¥) – это означает, что f(x) определена в некоторой О(х0) и $ lim(∆f(x0))/∆x=f’(x0)Þ по определению предела следует, что в некоторой О(х0)

x®0

(∆f(x0))/∆x=a(∆х)+f’(x0) при ∆х®0 Þ ∆f(x0)=f’(x0)+a(∆x)∆x, так как lima(∆x)=0, то в точке х0 y a(∆x) может

х®0

быть лишь устранимым разрывом . Устраним его, определим и доопределим:

a(0)=0, тогда ∆f(x0)=f’(x0)∆x+a(∆x)∆x Þ A=f’(x0) из установленного соответствия получим выражения для дифференцируемой функции df(x0)=f’(x0)∆x

Следствие: по определению полагают дифференциал независимой переменной равной её приращению

dx=∆x (х - независимая переменная)

df(x)=f’(x)dx

f(x)=x – вычислим дифференциал f’(x)=1 df(x)=dx=f(x)∆x=1∆x

Замечание: дифференциал функции зависит от двух переменных – от самой точки х и от ей приращения

y=cosx x0=p/2 ∆x=p/180

y’=-sinx y’(p/2)=-sin(p/2)=-1

dy(p/2)=-1∆x=-1p/180=-p/180

Теорема: Пусть y=f(x) дифференцируема в точке х0, а z=g(y) дифференцируема в точке у0=f(x0), тогда сложная функция z=g(f(x) - дифференцируема в точке х0 и z’(x0)=g’(f)f’(x)

Доказательство: (1) ∆z=g’(y0)∆y+a(∆y)∆y

(2) ∆y=f(x0)∆x+b(∆x)∆x a(0)=0 b(0)=0

Подставим в первое равенство второе:

∆z=g’(y0)f(x0)∆x+g’(y0)b(∆x)∆x+a[f’(x0)+b(∆x)∆x][f’(x0)∆x+b(∆x0∆x]

lim∆z/∆x=limg’(x0)f’(x0)+limg’(x0)b(∆x)+lim a(f’(x0)+b(∆x)∆x)[f’(x0)+b∆x] Þ z’(x0)=g’(y0)f’(x0) что и требовалось

x®0 x®0 x®0 x®0

доказать.

Теорема: Пусть функция y=f(x) возрастает (убывает) в О(х0) и дифференцируема в точке х0. Тогда обратная у ней функция x=g(y) дифференцируема в точки y0=f(x0), причём g’(y0)=1/f(x0)

Доказательство: из дифференцируемой функции f(x) в точке х0 и из монотонности следует существование обратной функции в точке х0 и её непрерывность lim[∆y(y0)]/∆y= ∆y®0, то ∆у¹0 Û в силу строгой

у®0 монотонности функции и обратной =

к ней следует ∆х¹0

=lim∆x/∆y=lim1 /(∆y/∆x)= в силу непрерывности следует =1/[lim∆y/∆x]=1/[lim∆f(x0)/∆x]=1/f(x0) f(x0)¹0

y®0 y®0 ∆у®0, то ∆х®0 и наоборот x®0 x®0

 

y=ax

y’(x)=lim[ax+x-ax]/∆x=lim[ax(ax-1)]/∆x=lim[ax(exlna-1)]/∆x=/∆x®0, то ∆xlna®0\=lim[ax∆xlna]/∆x=axlna

x®0 x®0 x®0 x®0

y’=axlna, частный случай y=ex Þ (ex)’=ex

 

y=x^2

 

y’=x^2 lnx

 

 

y=lnx

y’=lim[ln(x+∆x)-lnx]/∆x=lim[ln((x+∆x)/x)]/∆x=lim[ln(1+∆x/x)]/∆x=/∆x/x®0 при ∆x®0\=lim(∆x/x)/∆x=1/x

x®0 x®0 x®0 x®0

(lnx)’=1/x

y=lnx

 

y’=1/x

 

 

y=logax=lnx/lnaÞ (logax)’=1/xlna

 

y=lgx

 

y’=1/xln10

 

y=arcsinx обратная функция x=siny xÎ[-1;1] yÎ[-p/2;p/2]

(arcsinx)’|x=x0=1/(siny)’|y0=y=1/cosy|y0=y=

yÎ[-p/2;p/2], cosy³0 cosy>0, если yÎ[-p/2;p/2] то есть x¹±1

=1/Ö(1-sin2y)|y=y0=1/Ö(1-(sinarccosx)2)|x=x0=1/Ö(1-x02)

(arcsinx)’=1/Ö(1-x2)

 
 


y=arcsinx

 

y’=1/Ö(1-x^2)

 

 

 

 

 

 

 

y=acrcosx, обратная x=cosy xÎ[-1;1] yÎ[0;p]

(arcosx)’=1/(cosy)’|y=y0=1/-siny|y=y0=-1/Ö(1-cos2y)|y=y0=-1/Ö(1-(cosarccosy)2)|x=x0=-1/Ö(1-x02)

(arcosx)’=-1/Ö(1-x2)

 

y=arccosx

 

y’=--1/Ö(1-x^2)

 

y=arctgx обратная функция x=tgy yÎ(-p/2;p/2)

(arctgy)’=1/(tgy)’=cos2y= / 1+tg2y=1/cos2y \ =1/(1+x2)

(arctgy)’=1/(1+x2)

(arcctgy)’=-1/(1+x2)

 

 

y=arctgsx

 

y’=-1/ (1+x^2)

 

 

y=arcctgx

 

y’=--1/ (1+x^2)

 






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1834; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2022 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.016 сек.