Основные теоремы о непрерывных функциях.

Теорема: Все основные элементы функции непрерывны в любой точки своей области определения.

Определение: (функции непрерывной на отрезке)

y=f(x) – называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна в любой точке хÎ(a,b). В точке х=а функция непрерывна справа, то есть lim f(x)=f(a), а в точке х=b функция непрерывна слева lim f(x)=f(b).

^x^®^x_°⁺⁰^x^®^x_°^-0

Функция непрерывна на множестве D если она непрерывна в этой точке.

Теорема: (о сохранение знака непрерывной функции)

Пусть y=f(x) непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0 (f(x₀)<0), тогда f(x)>0 f(x)<0 непрерывна в некоторой точки О(х₀)

Доказательство: $ lim f(x)=f(x₀)Û "ε>0 $ d>0 "x: |x-x₀|<d Þ |f(x)-f(x₀)|<ε.

^x^®^x_°

Пусть f(x₀)>0, выберем ε=f(x₀) Þ |f(x)-f(x₀)|<f(x₀) "xÎO_d(x₀) ($d>0!)

-f(x₀)<f(x)-f(x₀)<f(x₀); f(x)>0 "xÎO_d(x₀), если f(x₀)<0, то ε=-f(x₀)

Теорема Коши: ( о нуле непрерывной функции)

Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и на концах его принимает значение разных знаков f(a) f(b) <0, тогда $ x₀Î(a,b): f(x₀)=0

Доказательство:

f(b)>0 f(a)<0

Разделим отрезок [a,b] пополам. Если в середине отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину отрезка, на концах которой функция принимает значение разных знаков. Выбранной отрезок поделим пополам. Если в середине нового отрезка f(x)=0, то всё доказано, если нет, то выберем ту половину от той половины, на концах которой функция принимает значение разных знаков и т.д.

[a,b]É[a₁,b₁]É[a₂,b₂]

Последовательность левых концов удовлетворяет отношению a<a₁<a₂<…<a_n<…<b

b³b₁³b₂³…³b_n³…>a Þ

{a_n}-ограниченная не убывающая $ lim a_n=a£b f(a)<0 f(a_n)<0 "n