Основные теоремы о производной.

Теорема: Пусть $ f’(x) и g’(x), тогда $ [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x)

Доказательство: следует непосредственно из определения производной и свойств предела суммы.

Теорема: (связи между непрерывностью функции и существование производной)

Пусть $ f’(x)Þ функция f(x) – непрерывна.

Доказательство: Пусть f(x) определена в О(х0) и lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f’(x0)<¥Þ [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f(x0)+a(x-x0)[2]

x®x°

[f(x)-f(x0)]=f’(x0)(x-x0)+a(x-x0)(x-x0) при х®х0

lin[f(x)-f(x0)]=limf’(x0)(x-x0)+lima(x-x0)(x-x0)=0+0=0Þlinf(x)=f(x0) то есть f(x) непрерывна в точки х0

x®x° x®x° x®x° x®x°

Замечание: обратное утверждение неверно, из-за непрерывности функции в точке х0 не следует существование функции в этой точки.

y=|х

Непрерывна в точки х0=0

limx, x³0

x®+0

lim|x|= =0

lim(-x), x<0

x®-0

y(0)=0

limy(x)=limy(x)=y(0)=0 Û $ limy(x)=y(0)=0 Þ функция непрерывна

x®+0 x®-0 x®0

lim∆y/∆x-не существует, действительно х®+0Þy(x)=x

x®0

lim[y(x)-y(0)]/x=lim(x-0)/x=1

x®+0 x®+0

x®-0Þy(x)=-x

lim[y(0)-y(x)]/x=lim(0-x)/x=-1 то есть lim∆y/∆x – не существует

x®-0 x®-0 х®0

Теорема: Пусть $ u’(x) и v’(x), тогда $(uv)’=u’v+v’u

Доказательство: Зададим приращение ∆х в точки х. Рассмотрим: lim[∆(uv)]/∆x=

x®0

lim[1/∆x][u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x)]=lim[1/∆x][ u(x+∆x)v(x+∆x)-u(x)v(x+∆x)+u(x)v(x+∆x)-u(x)v(x)=

x®0 x®0

lim[(v(x+∆x))(u(x+∆x)-u(x))]/∆x+lim[(u(x))(v(x+∆x)-v(x))]/∆x=v(x)u’(x)+u(x)v’(x)

x®0 x®0

Теорема: (о произведение частного)

Пусть $ u’(x) и v’(x), v’(x)¹0 в О(х), тогда $(u/v)’=[u’v-v’u]/v2

Доказательство: (u/v)’=[u(1/v)]’=[u’(1/v)]+[(1/v)’u]. Функция u(x) и v(x) –непрерывны в точки х0.

lim[∆(1/v)/∆x]=lim[1/∆x][1/(v(x+∆x))-1/v(x)]=lim[[v(x)-v(x-∆x)]/[∆xv(x)x(x+∆x)]]-[v’(x)/v2(x)]

x®0 x®0 ∆x®0

(u/v)’=u’(1/v)-(uv)’/v2=[u’v-uv’]/v2 что и требовалось доказать

Таблица производных

y=sinx

(sinx)’=lim[sin(x+∆x)-sinx]/∆x=lim[2sin(∆x/2)cos((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[2(∆x/2)cos(x+(∆x/2))]/∆x=cosx

x®0 x®0

(sinx)’=cosx

где sin(x)

(sin(x))’=cos(x)

y=cos(x)

(cos(x))’=lim[cos(x+∆x)-cos(x)]/∆x=lim[-2sin(∆x/2)sin((2x+∆x)/2)]/∆x=lim[-2(∆x/2)sin(x+(∆x/2))]/∆x=-sinx

x®0 x®0 x®0

(cos(x))’=-sinx

где cosx

(cos(x))’=-sin(x)

y=tg(x)

(tg(x))’=(sin(x)/cos(x))’=[(sin(x))’cos(x)-(cos(x))’sin(x)]/cos2x=[cos2x+sin2x]/cos2x=1/cos2x

(tg(x))’=1/cos2x

где tg(x)

(tg(x))’=1/cos2x


Лекция №11






Дата добавления: 2016-07-22; просмотров: 1900; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2021 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.