Криволинейные интегралы

Криволинейный интеграл 1- го рода.Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой L. Разобьём дугу АВ произвольным образом на n элементарных дуг точками А = А₀, А₁,…,А_n = В, имеющих длину ∆σ , ∆σ , …, ∆σ . Выберем на каждой элементарной дуге произвольную точку P (ξ ;η_к) и умножим значение функции в точки P на длину соответствующей дуги.

Интегральной суммой для функции f(x,y) по длине дуги АВ называется сумма вида

.

Если при max s интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

то этот предел называется криволинейным интегралом по длине дуги АВ от функции f( x, y ) и обозначается следующим образом:

.

Если кривая задана уравнением у = j(х) ( а £ х £ в), то

.

Если кривая задана параметрическими уравнениями х = х(t), y = y(t) (a£ t £ b), то

.

Основные свойства криволинейного интеграла 1 - го рода:

1. Криволинейный интеграл 1 - го рода не зависит от направления пути интегрирования: .

2. .

3. к , где к - константа.

4. Если К = К₁ÈК₂, то .

Пример 78. Вычислить интеграл , где L - дуга параболы

у² = 2х от точки (0,0) до точки (4,2 ).

Решение. Здесь линию удобно задать в форме, разрешенной относительно х: х = . Тогда х¢ = у и интеграл преобразуется к виду = = .

Криволинейный интеграл 2- го рода. Пусть функции Р(х,у) и Q(x,y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой АВ. Интегральной суммой для функций Р(х,у) и Q(x,y) по координатам называется сумма вида