Модуль 10. Определенный интеграл
10.1. Основные свойства и методы вычисления
Пусть функция f(x) задана в некотором отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками а< х0< х1<…< хn< в. Обозначим через . Выберем в каждом промежутке произвольную точку и составим сумму
(25)
Если существует конечный предел интегральной суммы (25) при , то его называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке от адо ви обозначается .
Основные свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
f(x)dx = - f(x)dx .
2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f(x)dx = 0.
3. Отрезок интегрирования можно разбить на части:
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx .
4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:
[ f (х) + f2 (х) – f3 (х)] dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx + f3 (x)dx .
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
сf(x)dx = с f(x)dx.
6. Если функция f(x), интегрируемая на отрезке , и f(x) ³ 0 для всех х Î , то f(x)dx ³ 0.
7. Если функции f(x), j(х) интегрируемы на отрезке и
f(x) £ j(х) для всех х Î , то f(x)dx £ j(х)dx.
Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница:
f(x)dx = F(x ) = F(b) - F(a) (26)
Пример 67. Вычислить интеграл dx.
Решение. Применяя формулу (26) и свойства определенного интеграла, получим
Правило интегрирования по частям в определенном интеграле:
,
где u и v - функции независимой переменной.
Пример 68. Вычислить интеграл .
Решение:
= = (х -1)cos - = (p - -1)cosp +1+ cos = 1 - p + 1 -1 - 1 = - p.
Правило замены переменной в определенном интеграле:
Если в интервале функции х = j(t), j¢(t) и f (j(t)) -непрерывны и j(а) = a, j(в) = b, то
.
Пример 69.Вычислить интеграл
Решение:
= = =
= = 4.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 447;