Модуль 10. Определенный интеграл

Пусть функция f(x) задана в некотором отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками а< х₀< х₁<…< х_n< в. Обозначим через . Выберем в каждом промежутке произвольную точку и составим сумму

(25)

Если существует конечный предел интегральной суммы (25) при , то его называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке от адо ви обозначается .

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

f(x)dx = - f(x)dx .

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f(x)dx = 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части:

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx .

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

[ f (х) + f₂ (х) – f₃ (х)] dx = f₁ (x)dx + f₂ (x)dx + f₃ (x)dx .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

сf(x)dx = с f(x)dx.

6. Если функция f(x), интегрируемая на отрезке , и f(x) ³ 0 для всех х Î , то f(x)dx ³ 0.

7. Если функции f(x), j(х) интегрируемы на отрезке и

f(x) £ j(х) для всех х Î , то f(x)dx £ j(х)dx.

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница:

f(x)dx = F(x ) = F(b) - F(a) (26)

Пример 67. Вычислить интеграл dx.

Решение. Применяя формулу (26) и свойства определенного интеграла, получим

Правило интегрирования по частям в определенном интеграле: