Модуль 10. Определенный интеграл


10.1. Основные свойства и методы вычисления

Пусть функция f(x) задана в некотором отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками а< х0< х1<…< хn< в. Обозначим через . Выберем в каждом промежутке произвольную точку и составим сумму

(25)

Если существует конечный предел интегральной суммы (25) при , то его называют определенным интегралом функции f(x) в промежутке от адо ви обозначается .

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

f(x)dx = - f(x)dx .

2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю: f(x)dx = 0.

3. Отрезок интегрирования можно разбить на части:

f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx .

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

[ f (х) + f2 (х) – f3 (х)] dx = f1 (x)dx + f2 (x)dx + f3 (x)dx .

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

сf(x)dx = с f(x)dx.

6. Если функция f(x), интегрируемая на отрезке , и f(x) ³ 0 для всех х Î , то f(x)dx ³ 0.

7. Если функции f(x), j(х) интегрируемы на отрезке и

f(x) £ j(х) для всех х Î , то f(x)dx £ j(х)dx.

Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл, служит формула Ньютона – Лейбница:

f(x)dx = F(x ) = F(b) - F(a) (26)

Пример 67. Вычислить интеграл dx.

Решение. Применяя формулу (26) и свойства определенного интеграла, получим

Правило интегрирования по частям в определенном интеграле:

,

где u и v - функции независимой переменной.

Пример 68. Вычислить интеграл .

Решение:

= = (х -1)cos - = (p - -1)cosp +1+ cos = 1 - p + 1 -1 - 1 = - p.

 

Правило замены переменной в определенном интеграле:

Если в интервале функции х = j(t), j¢(t) и f (j(t)) -непрерывны и j(а) = a, j(в) = b, то

.

Пример 69.Вычислить интеграл

Решение:

= = =

= = 4.

 



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 447;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.009 сек.