Дифференциальные уравнения второго порядка.
Уравнение .Введём новую переменную , полагая и, мы получим уравнение 1-го порядка: . Решая его имеем: , где F(x) – одна из первообразных от f(x), т.к. , то
Уравнение . Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Введём новую переменную и, замечая, что , получаем уравнение: . Допустим, что найдено общее решение этого уравнения , то общее решение имеет вид:
.
Пример 85. .
Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Введём новую переменную и замечая, что , получаем уравнение: (1+х2)z¢ - xz = 0 - уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решая его, находим . Возвращаемся к старой переменной: . Интегрируя, получим общее решение
Уравнение вида .Это уравнение не содержит явно независимую перемен. x. Введём новую переменную . Дифференцируем это равенство по x:
.
Тогда .Функция является общим решением этого уравнения. Учитывая, что , получим уравнение с разделяющимися переменными:
.
Интегрирую его получим общий интеграл:
.
Пример 86.Решить уравнение .
Решение. Это уравнение не содержит явно независимую перемен. x. Введём новую переменную . Тогда получим уравнение с разделяющимися переменными: 2 + z2 = y×z×z¢, решая его находим Þ Þ . Таким образом, общее решение имеет вид:
Линейные дифференциальные уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.Линейные однородные дифференциальные уравнения II - го порядка с постоянными коэффициентами
, (41)
где - const, . Разделим уравнение (41) на а0 и введем обозначения , получим уравнение:
(42)
Уравнение к2 + рк +q = 0 называют характеристическим уравнением.
Характеристическое уравнение является уравнением второй степени, поэтому имеет два корня.
1) Корни характеристического уравнения действительные и различные: . В этом случае общее решение уравнения (41) имеет вид:
2) Корни характеристического уравнения равные: .
Тогда общее решение однородного линейного уравнения имеет вид:
3) Корни характеристического уравнения комплексные.
Общее решение имеет вид:
Пример 87. Найти общее решение уравнения. .
Решение. Составляем характеристическое уравнение: к2 + 4к +13 = 0, корни которого к1,2 = - 2 ± 3i. Следовательно, общее решение имеет вид:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения IIго порядка с постоянными коэффициентами:
(43) ,
где - функция. Общее решение (43) представляет собой сумму общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применяют:
1) метод вариации пост.
2) метод подбора правой части.
Рассмотрим второй метод.
I. Правая часть уравнения .
В этом случае частное решение следует искать в виде:
,
где - многочлен той же степени, что и , с неизвестными коэффициентами, а r – число корней характеристического уравнения совпавших с нулем.
II. Правая часть уравнения .
Частное решение ищем в виде:
,
где - многочлен с неопределенными коэффициентами степени n,
r - число корней характеристического уравнения, совпавших с коэффициентом .
III. Правая часть уравнения
Тогда , где A, B – неизвестные коэффициенты,
r - ровно числу корней характеристического уравнения совпавших с bi.
Теорема. Если - частное решение линейное неоднородного уравнения (43), а У(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения (41), то функция - является общим решением неоднородного уравнения (43).
Пример 88.Найти общее решение уравнения
Решение. Общее решение однородного уравнения было найдено в примере 90: Частное решение неоднородного будем искать в виде:
, | |
= , | |
13 +4( ) =
cos3x: 13А+12В - 9А = 2,
sin3x: 13В - 12А - 9В = 0, А = 1/20, В = 3/20.
Таким образом, , а общее решение имеет вид .
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 449;