Модуль 13. Элементы теории функции комплексного переменного.

Комплексные числа.

Комплексным числом α называется пара действительных чисел a и b, взятых в определённом порядке: .

Рассмотрим число, изображаемой парой (0;1) – его обозначим через i. Тогда , , всякое комплексное число может быть записано в виде:

Очевидно, что если , то комплексное число обращается в действительное число, если , в чисто мнимое. Два комплексных числа, по определению, называются равными, если равны между собой их действительные части и равны их мнимые.

Два комплексных числа имеющих одну и ту же первую компоненту, но противоположные по знаку вторые компоненты, называются сопряжёнными и обозначаются , .

Сложение двух комплексных чисел α и β определим с помощью равенств: . Умножение двух комплексных чисел α и β определим с помощью равенства: . Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме. Следует числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное с делителем: .

Всякое комплексное число мы можем изображать на плоскости с координатами a и b.

y

α

b

0 a x

Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат – мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называют комплексно-числовой плоскостью.

Модулем комплексного числа α называют положительное число r и обозначают через . Направление вектора α определяется с помощью угла j положительным направлением оси Ox и направлением этого вектора j изображает угол на который нужно повернуть «+» направление оси Ox, чтобы совпало с направлением вектора α. Это число j называется аргументом комплексного числа α и обозначается через . Очевидно, что , так как r и j являются полярными координатами точки то имеем: ,

- тригонометрическая форма комплексного угла,

- алгебраическая форма комплексного числа.

Теоремы о модуле и аргументе. Произведение двух комплексных чисел , имеет вид: