Несобственный интеграл

Несобственным интегралом называется: 1) интеграл с бесконечными пределами; 2) интеграл от неограниченной функции:

.

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся; если же предел не существует или равен бесконечности - расходящийся.

Аналогично, ;

Если функция имеет бесконечный разрыв в точке с отрезка и

непрерывна при а х < с и с< х в, то по определению полагаем

Пример 72.Вычислить интеграл

Решение:

=2

= 2 .

Пример 73. Вычислить интеграл

Решение:

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Модуль 11. Кратные интегралы

Двойные интегралы

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости хОy. Разобьём область D произвольном образом на n элементарных областей, имеющих площадь ∆σ , ∆σ , …, ∆σ и диаметры d , d₂, … , d (диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку P (ξ ;η_к ) и умножим значение функции в точки P на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции f(x,y) по области D называется сумма вида

.

Если при max d интегральная сумма имеет определенный конечный предел

I = ,

не зависящий от способа разбиения D на элементарные области и от выбора точек P в пределах каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции f( x, y ) в области D и обозначается следующим образом:

I = .

Если f(x,y)>0 в области D, то двойной интеграл равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси О , и снизу областью D плоскости хОy.

Основные свойства двойного интеграла:

1.

2. , где с – постоянная.

3. Если область интегрирования D разбита на две области D и D , то

4. Оценка двойного интеграла. Если m ≤ f(x,y) ≤ M, то , где S - площадь области D, а m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y)в области D.

Пример 74.Вычислить ,если область D ограничена прямыми y = х, y = 2х, х =2, х =3.

Решение. Вначале построим заданную область D (рис.14). Как видно

из графика

D = .

Тогда = 25 .

Пример 75.Изменить порядок интегрирования в интеграле:

I = .

Решение. Вначале по пределам интегрирования определяем область интегрирования. Полагая xравным пределам интеграла с переменной х, а y равным пределам интеграла с переменной y, получим уравнения линий, ограничивающих эту область: х = -2, х = 2, y = , y = 4.

Построив эти линии, получим параболический сегмент ОАВ, симметричный оси О (рис.15).

Интегрируем в другом порядке – вначале по х, затем по y. Пределы внутреннего интеграла находим, разрешая относительно х

уравнение параболы х = - и х = . Пределы внешнего интеграла y = 0 и х = 4 находим как наименьшее и наибольшее значение y во всей области ОАВ. Следовательно,

.

Рис. 15

Двойной интеграл в полярных координатах.Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат х, y к полярным координатам ρ, θ, связанным с прямоугольными координатами соотношениями

х = r cosj, y = r sinj,

осуществляется по формуле

.

Пример 76.Перейдя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл , если D - I четверть круга .

Решение. Полагая х = r cosj, y = r sinj, имеем уравнение окружности

r² cos²j + r² sin²j = 1 или r = 1, тогда

= = .

Вычисление площади плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, ограниченной областью D, находится по формуле

.

Если область D определена, например, неравенствами , то

.

Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то

.

Пример 77.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

, x + y = 6.

Решение. Построим данную область Д: , x + y = 6 (рис.16). Найдем координаты точек пересечения заданных линий, решая систему уравнений: и

x + y = 6. В результате получим А(4;2), В(3;3). Таким образом,

D= и площадь области равна: Рис. 16

dy =

= (кв.ед.).