Дифференциальные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и её первую производную:
f (x,y,y¢) = 0,
x - независимая переменная, y - искомая функция, y¢ - её производная.
y¢ = f (x,y) (32)
Уравнение (32) называется уравнением 1-го порядка, разрешённым относительно производной.
Решением дифференциального уравнения 1-го порядка называется всякая функция которая при подстановки в уравнение обращается в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка в области D называется функция , обладающая следующими свойствами:
1) она является решением данного уравнения при любых значениях производной постоянной C, принадлежащей некоторому множеству;
2) для любого начального условия : , существует единственное значение С = С0, при котором решение удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение , получающееся из общего решения при конкретных значениях , удовлетворяющее заданному начальному условиюанному решение ну данного уравнения при егральной кривой надо задать (ьных кривых, го уравнения.
оизводную:
называется частным решением.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить
(33)
Метод интегрирования уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем: перепишем уравнение (33) в виде . Умножим обе части данного уравнения на , получим:
. (34)
Если уравнение (33) представлено в виде (34), то говорят, что в нём разделены переменные. Интегрируя его, получим:
(35)
Выражение (35) представляет собой общий интеграл уравнения (4). Замечание. Разделив обе части уравнения (33) на (y), мы можем потерять те решения, при которых . Действительно, если при , то функция const - является решением (33).
Пример № 81.Решить уравнение , y (1) = 2.
Решение. Запишем уравнение в виде: , разделяя переменные получим: , интегрируя, находим общее решение . При делении на yмы могли потерять решение y = 0, но последнее содержится в общем решении при С = 0.
Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется однородным если его можно представить в виде:
, (36)
где правая часть есть функция только отношения .
Введём новую функцию z , полагая , или y = x×z, тогда у¢ = х¢×z + x×z¢. Подставляя в (36), получаем:
.
Предполагая, что , имеем .
Интегрируя, получим:
.
Возвращаясь к старой переменной y = x×z, получим искомое решение однородного уравнения.
Пример № 82. Решить дифференциальное .
Решение. Убеждаемся, что данное уравнение является однородным:
или . Введём новую функцию z , полагая , или y = x×z, тогда у¢ = х¢×z + x×z¢. Подставляя в уравнение получим: х×xz× (х¢×z + x×z¢) = x2 + (xz)2. Сокращая на х2 приходим к уравнению: . Разделяя переменные и интегрируя, получим:
z = ln +C, или ln +C.
Линейные уравнения. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если его можно представить в виде:
, (37)
где P(x), Q(x) - заданные функции. Если Q(x) º 0, то уравнение (37) называется линейным однородным уравнением. Уравнение (37) интегрируется следующими способами.
1. Метод Лагранжа.
Решаем однородное уравнение, то есть уравнение .
В этом уравнение переменные разделяются и его общее решение имеет вид:.
Общее решение будем искать в виде :
(38)
.
Подставляем y и y¢ в уравнение (37):
, или .
Интегрируя находим:
Подставляя найденное выражение в (38), получаем:
2. Метод Бернулли.
Решение уравнения (37) будем искать в виде:
у = u(x)×v(x).
Тогда уравнение (37) имеет вид:
(u(x)×v(x))¢ = Р(х) u(x)×v(x) + Q(x)
или
u¢(x)×v(x) + u(x)×v¢(x) - Р(х) u(x)×v(x) = Q(x).
Выберем в качестве v какое - нибудь частное решение уравнения:
v¢(x) - Р(х) ×v(x) = 0,
,
, откуда ln = , или v = .
Тогда для отыскания u получим уравнение
u¢(x) = Q(x).
,
откуда , значит общее решение данного уравнения имеет вид: .
Пример № 83. Найти общее решение уравнения .
Решение. Решим методом Лагранжа.
1. Находим вначале решение однородного уравнения . Разделяя переменные и интегрируя, находим: ln = ln + C или у = Сх.
2. Решение неоднородного уравнения ищем в виде: у = С(х)×х. Подставляем в уравнение данную функцию: С¢(х)×х + С(х) = С(х) + х2 или С¢(х) = х, проинтегрируем последнее уравнение: С(х) = + А. Следовательно, общее решение уравнения имеет вид: у = ( + А)×х.
Уравнения в полных дифференциалах. Рассмотрим дифференциальное уравнение
(39)
Это уравнение 1-го порядка, т.к. . Допустим, что , - непрерывны вместо со своими частными произв. и в некоторой области G. Если левая часть уравнения (39) является полным дифференциалом некоторой функции , т.е. =
= , то уравнение (39) называется уравнением в полных дифференциалах и может быть записано в виде . Как известно, для того чтобы выражение Рdx + Qdy было полным дифференциалом необходимо чтобы в области G выполнялось равенство
(40)
Если это условие выполняется, то функция находится следующим образом:
Þ
общий интеграл уравнения (39) запишем в виде:
где - (х0; у0) произвольная фиксированная точка области G.
Пример 84. Проинтегрировать уравнение .
Решение. Итак, Р(х,у) = 2ху - 1, Q(х,у) = 2 + х2, тогда = 2х,
=2х, то есть выполнено условие (40). Следовательно,
, -х + (2 + х2)у = С.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 524;