Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площади.Если криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу кривыми у =f (x), y = g(x), cбоку прямыми х = а и х = в, то имеем
S= (27)
Если фигура задана параметрическими уравнениями
х = φ(t), y = ψ(t), t1 t2, то
S= (28)
Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат и задана уравнением ρ=f(φ) , то
S= (29)
Пример 70. Вычислить площадь, ограниченную следующими линиями:
1) параболой 4у = 8х - и прямой 4y = х -6;
2) эллипсом х = a cos t, y = a sin t;
3) кардиоидой ρ = а( 1+ cos φ ).
Решение:
1. Совместно решая данные уравнения, определим две точки пересечения линий, ограничивающих искомую площадь, А , В(6; 3).
Построим эти точки и проходящие через них данные линии (рис. 13). Видим, что искомая площадь ANB равна разности площадей и . Площадь S криволинейной трапеции , прилежащей к оси О , выражается интегралом
S = ydx = dx = =
Площадь S трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
S = = .
Следовательно, искомая площадь
S = S - S = - = .
2. Оси координат совпадают с осями симметрии данного эллипса и поэтому они делят его на четыре Рис.13 одинаковые части. Четвертую часть искомой площади S, расположенную в первом квадранте, найдем как площадь криволинейной трапеции, прилежащей к оси О : S= . Пользуясь данными параметрическими уравнениями эллипса, преобразуем интеграл к переменной t, y = b sint, dx = -a sin t dt, если х = 0, то t = ; если х = а, то t = 0; S = 4 = - 4ab sin t dt =2ab (1-cos2t)dt=2ab(t - sin2t =
= πab.
3. Кардиоида симметрична относительно полярной оси . Поэтому искомая площадь равна удвоенной площади криволинейного сектора ОАВ. Дуга АВО описывается концом полярного радиуса r при изменении полярного угла φ от 0 до π:
S = 2 ×1/2 = a × = a2 = a ×
× = a =
= .
Длина дуги плоской кривой. Если плоская кривая отнесена к прямоугольной системе координат и задана уравнениями y = f(x), х = F(х) или параметрическими уравнениями х = φ(t), y = ψ(t), то дифференциал dl длины её дуги, выражается формулой
dl = dx = = ,
а длина дуги АВ определяется формулой
L = = = = . (30)
Если плоская кривая отнесена к полярной системе координат и задана уравнением ρ=f(φ) , то dl= ,
L = = (31)
Пример 71:
1) Вычислить длину дуги полукубической параболы y = (х-1)
между точками А(2;-1) и В(5;-8).
2) Одной арки циклоиды х = (t - sint), y = a(1 - cost).
3) от до
Решение:
1. Разрешаем данное уравнение относительно y и находим y':
y = ; y'= (знаки в выражении y указывает, что кривая симметрична оси О ; точки А и В, имеющие отрицательные ординаты, лежат на той ветви кривой, которая расположена ниже оси О ).
Подставляя в формулу (30), получим
L = = =
= = 7,63.
2. Дифференцируем по t параметрические уравнения циклоиды
и находим дифференциал ее дуги
dl = = a
= .
Одна арка циклоиды получается при изменении параметра t от 0 до 2π, поэтому
L = 2a = 8a.
3. Имеем Следовательно, по формуле (31) имеем
L= = =
=
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 596;