Вычисление двойного интеграла

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

y y = y(x)

D

y = j(x)

a b x

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

y

D

0 2 x

=

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, ограниченной линиями y = c, y = d (c < d), x = F(y), x = Y(y) (F(y) £ Y(y)), то

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями

y = x, x = 0, y = 1, y = 2.

y

y = x

D

0 x

Пример. Вычислить интеграл , если область интегрирования D ограничена линиями х = 0, х = у², у = 2.

=

=

Геометрические приложения кратных интегралов

Вычисление площадей в декартовых координатах.

y

y = j(x)

S

y = f(x)

a b x

Площадь S, показанная на рисунке может быть вычислена с помощью двойного интеграла по формуле:

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y² = 4x + 4; x + y – 2 = 0.

Линии пересекаются в двух точках – (0, 2) и (8, -6). Таким образом, область интегрирования ограничена по оси Ох графиками кривых от до х = 2 – у, а по оси Оу – от –6 до 2. Тогда искомая площадь равна:

S =