Интегрирование рациональных функций

Случай 1.Знаменатель имеет только действительные различные корни, т.е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.

Пример 54. Найти интеграл

Решение. Так как каждый из двухчленов входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде

Освобождаясь от знаменателей, получим

При х = 1 6 = 3А, А = 2;

при х = 2 11 = -2В, В= - ;

при х = 4 27 = 6С, С = .

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом,

Случай 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некоторые из них кратные, т.е. знаменатель разлагается на множители первой степени и некоторые из них повторяются.

Пример 55. Найти интеграл

Решение. Множителю соответствует сумма трех простейших дробей , а множителю - простейшая дробь Итак,

Освободимся от знаменателя:

х = 1	2 = 4А; A =
x = -3	10 = -64D; D = -
x = 0	1= -3B + 3C +
x = -1	2 = 1- 4B + 8C +

Откуда В = , С = .

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

=

Случай 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

Пример 56. Найти интеграл

Решение. Разлагаем дробь на простейшие дроби

Освобождаемся от знаменателя:

. Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

Откуда найдем А = 1, В = -1, С = -1.

Итак,

Следовательно,

= ln|x|-

- - = ln|x| - -

- +C.

Случай 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т.е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.

Пример 57. Найти интеграл

Решение. Так как есть двукратный множитель, то

Освобождаясь от знаменателей, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

1

Следовательно,

=

=

Интегралы вида интегрируются путем выделения полного квадрата из квадратного трехчлена.

Пример 58. Вычислить интеграл .

Решение:

=

= , где

Пример 59. Вычислить интеграл .

Решение:

=

Интеграл вида , где n Î Z, интегрируются путем введения новой переменной t ⁿ = ax + b.

Пример 60. Вычислить интеграл .

Решение:

=

= -2t-2 = -2 +С.

Интегралы вида , где P_n (x) - многочлен степени n, вычисляются с помощью реккурентной формулы

= , (21)

где Q _{n - 1} (x) - многочлен степени (n - 1) с неопределенными коэффициентами и l - число. Коэффициенты многочлена и число l находятся при помощи дифференцирования тождества (21).

Пример 61. Вычислить интеграл .

Решение. Применяем формулу (21):

= (Ах+В) . Дифференцируем это тождество: . Откуда

х² = А(х² + 4) + х(Ах+В) + l.

Выпишем коэффициенты при одинаковых степенях:

х²: 1 = А +А

х: 0 = Вх

х⁰: 0 = 4A + l.

Итак, А = , В = 0, l = -2. Следовательно,

= = +С.

Интеграл от дифференциального бинома , где m, n, p - рациональные числа:

1) если р - целое число, то делаем замену х = t ^s, где s - общий знаменатель дробей m и n;

2) если - целое число, то делаем замену а+bх ⁿ = t ^s, где s - знаменатель дроби р;

3) если +р - целое число, то делаем замену ах ^{– n}+b = t ^s, где s - знаменатель дроби р.

Пример 62. Вычислить интеграл

Решение:

= =

9.7. Интегрирование тригонометрических функций

1.Интегралы вида где R - рациональная функция, приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью так называемой универсальной тригонометрической подстановки В результате этой подстановки имеем:

;

Пример 63. Найти интеграл

Решение. Введем новую переменную tg . Тогда = =

= = = arctg +

+C = +C.

Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при ее применении и выражаются через в виде рациональных дробей, содержащих .

В некоторых частных случаях нахождение интеграла вида может быть упрощено:

1. Если - нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется подстановкой

2. Если - нечетная функция относительно , т.е., если , то интеграл рационализируется с помощью подстановки

3. Если - четная функция и относительно и относительно , т.е., если , то к цели приводит подстановка

Пример 64. Найти интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция нечетна относительно синуса, то полагаем

=

2. Интегралы вида

Выделим здесь два случая, имеющие особенно важное значение.

Случай 1. По крайней мере один из показателей m или n – нечетное положительное число.

Если n – нечетное положительное число, то применяется подстановка Если же m - нечетное положительное число, подстановка

Пример 65. Найти интеграл

Решение. Полагая получим

Случай 2. Оба показателя степени m и n - четные положительные числа. Здесь следует преобразовать подынтегральную функцию с помощью следующих формул:

(22)

(23)

(24)

Пример 66. Найти интеграл

Решение. Из формулы (22) следует, что

Применив теперь формулу (23), получаем

Итак,

3. Интегралы вида

Тригонометрические формулы

дают возможность произведение тригонометрических функций представить в виде суммы.