Вычисление двойного интеграла в полярной

Системе координат

Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе координат: , . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : . Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более, чем в двух точках . Линии, ограничивающие область , имеют уравнения , , где , . Такую область, применительно к полярной системе координат, будем называть правильной (см. рис.).

Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения фигуры на элементарные, подобное разбиение можно осуществить с помощью лучей , проходящих через начало координат, и концентрических окружностей с центрами в начале координат. При пересечении двух окружностей радиусов , и лучей, проведенных под углами и , образуется элементарная криволинейная фигура . Ее, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами , и , площадь которого .

Следовательно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид

.

Итак, если область является правильной применительно к полярным координатам, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения линий входа в область (AMВ) — и выхода из нее (АКВ) — . Тогда , .

Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний — по . На основании изложенного имеет место следующая формула вычисления двойного интеграла в полярных координатах:

,

при этом лучи и , и кривые , ограничивают фигуру , по которой осуществляется вычисление двойного интеграла.

Пример.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями: , , , .

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Если рассматривать данную область как стандартную относительно оси , то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов, так как снизу функция выражена двумя аналитическими выражениями ( и ), то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов. Аналогичная ситуация возникнет и для оси . При этом, как и в первом случае, так и во втором мы придем к необходимости нахождения достаточно сложных интегралов. Так как линиями, частично ограничивающими область , являются окружности, имеет смысл перейти к полярной системе координат.

Перейдем к полярным координатам по формулам:

, .

Тогда уравнение в полярных координатах запишется в виде:

.

Уравнение получит вид:

.

Ограничение в полярных координатах будет иметь вид:

.

Аналогично .

Подынтегральная функция примет вид: .

Область является правильной применительно к полярным координатам, следовательно, можем использовать формулу:

.

Получаем:

.

Тройной интеграл

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определенную в ней непрерывную функцию . Область разобьем на элементарных пространственных областей . Предполагается, что область и элементарные области имеют объемы, которые будем обозначать соответственно теми же символами. В каждой элементарной области ( ) выберем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем элементарной области и составим сумму всех таких произведений:

,

которая называется интегральной суммой данной функции по данному объему.

Обозначим через диаметр области . Пусть — наибольший из этих диаметров. И перейдем в последнем равенстве к пределу при .

Если предел интегральной суммы существует, то он и называется тройным интегралом от функции по пространственной области .

Итак, по определению

. (1)

Тройной интеграл от функции по пространственной области также обозначается следующим образом:

.

Отметим без доказательства, что если функция непрерывна в рассматриваемой замкнутой области , то предел в правой части формулы (1) существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные и выбора точки в элементарной области .

Предположим, что в области распределено вещество, объемная плотность которого задана непрерывной функцией , тогда произведение выражает приближенную массу элементарной области , интегральная сумма — приближенную массу всей области , а тройной интеграл — точное значение этой массы, т. е.

.

Данная формула выражает механический смысл тройного интеграла: тройной интеграл представляет массу, заполняющую область интегрирования .

Если в формуле , то мы получаем формулу для вычисления объема с помощью тройного интеграла:

или

Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичны­ми свойствам двойного интеграла.

Перейдем к вопросу о вычислении тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Предположим, что область является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:

1) всякая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;

2) проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

Пусть стандартная область ограничена сверху поверхностью , снизу — поверхностью , тогда можно показать, что

.

Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

.

Следовательно, в этом случае

.

Замечание. Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то

.

Замечание. Если область является стандартной в направлении каждой координатной оси и ее проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трехкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.

Пример.Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной поверхностями , , , , ,.

Решение.Изобразим область .

Эта область является стандартной в направлении оси , а проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси . Следовательно,

.

Пример.Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .

Решение. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело имеют наиболее простой вид в цилиндрических координатах, связь которых с декартовыми осуществляется по формулам:

, , .

Первая поверхность являющаяся параболоидом вращения примет вид:

.

Уравнение плоскости в цилиндрических координатах останется без изменений.

Изобразим тело, объем которого необходимо найти, на рисунке.

Решая совместно уравнения и , получаем, что область проектируется в плоскость в круг .

Следовательно,

.