Вычисление двойного интеграла в полярной
Системе координат
Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по формулам перехода к полярной системе координат: , . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : . Пусть область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более, чем в двух точках . Линии, ограничивающие область , имеют уравнения , , где , . Такую область, применительно к полярной системе координат, будем называть правильной (см. рис.).
Поскольку предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения фигуры на элементарные, подобное разбиение можно осуществить с помощью лучей , проходящих через начало координат, и концентрических окружностей с центрами в начале координат. При пересечении двух окружностей радиусов , и лучей, проведенных под углами и , образуется элементарная криволинейная фигура . Ее, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, можно рассматривать как прямоугольник со сторонами , и , площадь которого .
Следовательно, двойной интеграл в полярных координатах имеет вид
.
Итак, если область является правильной применительно к полярным координатам, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и , записывают уравнения линий входа в область (AMВ) — и выхода из нее (АКВ) — . Тогда , .
Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний — по . На основании изложенного имеет место следующая формула вычисления двойного интеграла в полярных координатах:
,
при этом лучи и , и кривые , ограничивают фигуру , по которой осуществляется вычисление двойного интеграла.
Пример.Вычислить двойной интеграл по области , ограниченной линиями: , , , .
Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.
Если рассматривать данную область как стандартную относительно оси , то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов, так как снизу функция выражена двумя аналитическими выражениями ( и ), то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов. Аналогичная ситуация возникнет и для оси . При этом, как и в первом случае, так и во втором мы придем к необходимости нахождения достаточно сложных интегралов. Так как линиями, частично ограничивающими область , являются окружности, имеет смысл перейти к полярной системе координат.
Перейдем к полярным координатам по формулам:
, .
Тогда уравнение в полярных координатах запишется в виде:
.
Уравнение получит вид:
.
Ограничение в полярных координатах будет иметь вид:
.
Аналогично .
Подынтегральная функция примет вид: .
Область является правильной применительно к полярным координатам, следовательно, можем использовать формулу:
.
Получаем:
.
Тройной интеграл
По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Рассмотрим ограниченную замкнутую пространственную область и определенную в ней непрерывную функцию . Область разобьем на элементарных пространственных областей . Предполагается, что область и элементарные области имеют объемы, которые будем обозначать соответственно теми же символами. В каждой элементарной области ( ) выберем произвольную точку , значение функции в этой точке умножим на объем элементарной области и составим сумму всех таких произведений:
,
которая называется интегральной суммой данной функции по данному объему.
Обозначим через диаметр области . Пусть — наибольший из этих диаметров. И перейдем в последнем равенстве к пределу при .
Если предел интегральной суммы существует, то он и называется тройным интегралом от функции по пространственной области .
Итак, по определению
. (1)
Тройной интеграл от функции по пространственной области также обозначается следующим образом:
.
Отметим без доказательства, что если функция непрерывна в рассматриваемой замкнутой области , то предел в правой части формулы (1) существует и не зависит от способа разбиения области на элементарные и выбора точки в элементарной области .
Предположим, что в области распределено вещество, объемная плотность которого задана непрерывной функцией , тогда произведение выражает приближенную массу элементарной области , интегральная сумма — приближенную массу всей области , а тройной интеграл — точное значение этой массы, т. е.
.
Данная формула выражает механический смысл тройного интеграла: тройной интеграл представляет массу, заполняющую область интегрирования .
Если в формуле , то мы получаем формулу для вычисления объема с помощью тройного интеграла:
или
Тройной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам двойного интеграла.
Перейдем к вопросу о вычислении тройного интеграла в прямоугольных декартовых координатах. Предположим, что область является стандартной в направлении оси , т. е. удовлетворяющей следующим условиям:
1) всякая прямая, параллельная этой оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках;
2) проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .
Пусть стандартная область ограничена сверху поверхностью , снизу — поверхностью , тогда можно показать, что
.
Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то
.
Следовательно, в этом случае
.
Замечание. Если область является стандартной в направлении оси и определяется неравенствами , , то
.
Замечание. Если область является стандартной в направлении каждой координатной оси и ее проекции на координатные плоскости являются стандартными в направлении каждой соответствующей оси, то пределы интегрирования в трехкратном интеграле можно расставить шестью различными способами.
Пример.Вычислить тройной интеграл по области , ограниченной поверхностями , , , , ,.
Решение.Изобразим область .
Эта область является стандартной в направлении оси , а проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси . Следовательно,
.
Пример.Найти объем тела, ограниченного поверхностями , .
Решение. Уравнения поверхностей, ограничивающих тело имеют наиболее простой вид в цилиндрических координатах, связь которых с декартовыми осуществляется по формулам:
, , .
Первая поверхность являющаяся параболоидом вращения примет вид:
.
Уравнение плоскости в цилиндрических координатах останется без изменений.
Изобразим тело, объем которого необходимо найти, на рисунке.
Решая совместно уравнения и , получаем, что область проектируется в плоскость в круг .
Следовательно,
.
Дата добавления: 2021-01-11; просмотров: 363;