Кривые второго порядка

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени относительно текущих декартовых координат:

Ах² +2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.(12)

1. Уравнение окружности с центром в точке О(а,в) и радиусом,

равным R: (х – а)² + (у – в)² = R².

2. Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости

(рис.2), для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек

(фокусов) той же плоскости есть постоянная величина, и эта величина

больше расстояния между фокусами.

Каноническое уравнение эллипса:

где a = OA – большая , b =

OB - малая полуоси. Координаты фокусов эллипса:

,

где .

Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния 2с к длине большей оси 2а:

.

Фокальным радиусом точки М эллипса называют отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами F₁ и F₂ . Их длины r₁ и r₂ можно вычислить по формулам:

.

3. Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости (рис. 3), для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная, и эта величина меньше расстояния между фокусами.Каноническое уравнение гиперболы:

Число А называется пределом функции y=f(x) при , если для любого e >0 существует , такое, что | f (x) – A | < ε при 0<| x - а | < . Записывается: f (x) = A . Аналогично f (x) = A, если | f (x) – A | < ε при . Употребляется также условная запись f (x) = ∞, которая обозначает, что при 0<| x - а | < , где Е – произвольное положительное число.

Если с – постоянная величина, то c = c. Если функции f(x) и j(x) имеют пределы при х®а, то

(f(x) ± j(x)) = f(x) ± j(x),

(f(x)·j(x)) = f(x)· j(x),

.

Односторонние пределы.Если x < а и x → а, то условно пишут x → а - 0; аналогично, если x > а и x → а, то это записывается так x → а +0. Числа f (a - 0) = f (x) и f (a + 0) = f (x) называются соответственно пределом слева функции f (x) в точке а и пределом справа функции f (x) в точке а (если эти числа существуют).

Бесконечно малые и бесконечно большие. Если lim α (x) = 0 , т. е. если | α (x) | < ε при 0 < | x – a | < δ (ε), то функция α (x) называется бесконечно малой при x → a. Аналогично определяется бесконечно малая α (x) при x → ∞.

Сумма и произведение ограниченного числа бесконечно малых при x →a есть также бесконечно малые при x → a. Если α (x) и β (x) – бесконечно малые при x → a и = С,где С – некоторое число, отличное от нуля, то функции α (x) и β (x) называются бесконечно малыми одного и того же порядка; если же С = 0, то говорят, что функция α (x) есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с β (x).

Функция α (x) называется бесконечно малой порядка n по сравнению с функцией β (x), если = С, где 0 < | C | < + ∞ .

Если = 1, то функции α (x) и β (x) называются равносильными (эквивалентными) бесконечно малыми при x → a:

α (x) ~ β (x).

Например, при х → 0 имеем: sin x ~ x; .tg x ~ x; ln (1 + x) ~ x и т. п.

Замечание. При нахождении предела заменять эквивалентными бесконечно малыми функциями можно только множители и делители.

Если для любого сколь угодно большого числа N существует такое

δ (N), что при 0 < | x – a | < δ (N) выполнено неравенство | f (x) | > N, то функция f (x) называется бесконечно большой при x → а.

Аналогично определяется бесконечно большая f (x) при x → ∞. Подобно тому, как это сделано для бесконечно малых, вводится понятие бесконечно больших различных порядков.

Некоторые важные пределы:

- первый замечательный предел;

- второй замечательный предел;

;

Пример 19. Найти пределы:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5)

6) 7) .

Решение:

1. Разлагаем числитель и знаменатель дроби на множители, как квадратные трехчлены, по формуле ax² +bx+c = a(x-x₁)(x-x₂) ,

где х₁ и х₂ – корни трёхчлена. Тогда

=

2. Выяснив вначале, что при указанном изменении аргумента данная функция представляет отношение двух бесконечно малых величин (случай 0/0), перейдем к эквивалентным функциям:

= = 2.

3. Уничтожаем иррациональность в числителе путём умножения числителя и знаменателя на 1+ , затем сокращаем дробь на х:

4. Применяем тригонометрическую формулу: 1 – cos x = 2sin²

5. так как arctg (x+2) (x+2).

6. Убедившись, что имеет место случай , подвергаем функцию преобразованиям. Делим числитель и знаменатель дроби на х² (наивысшая здесь степень х ), находим:

так как при х ¥ величины 1/х² и 1/х являются бесконечно малыми.

7. При х основание степенно-показательной функции

f(x) = стремится к 1, т.к. , а показатель степени есть бесконечно малая функция. Таким образом имеем неопределенность вида . Сведем этот предел ко второму “замечательному пределу “:

=

5.2. Непрерывность функций

Функция f (x) называется непрерывной в точке а, если:

1) эта функция определена в точке а, т. е. существует число f (а);

2) существует конечный предел f (x);

3) этот предел равен значению функции в точке а, т. е. f (x) = f (а).

Говорят, что функции f (х) терпит разрывы непрерывности при значении х = х₀ (или в точке х₀), принадлежащем области определения функции или являющемся граничным для этой области, если в этой точке нарушается условие непрерывности функции. Например, функция

f (x) = разрывна при х = 1. Эта функция не определена в точке х =1, и как бы мы ни выбрали число f (1), пополненная функция f (x) не будет непрерывной при х = 1. Если для функции f (x) существуют конечные пределы:

f (х) = f (х₀ – 0) и f (x) = f (х₀ + 0) ( причем не все три числа f (х), f (х₀ – 0), f (х₀ + 0) равны между собой), то х₀ называется точкой разрыва 1-го рода. В частности, если f (х₀ – 0) = f (х₀ + 0), то х₀ называется устранимой точкой разрыва. Для непрерывности функции f (x) в точке х₀ необходимо и достаточно, чтобы

f (х₀) = f (х₀ – 0) = f (х₀ + 0).

Точки разрыва функции, не являющиеся точками разрыва 1-го рода , называются точками разрыва 2-го рода. К точкам разрыва 2-го рода относятся также точки бесконечного разрыва, т. е. такие точки х₀ , для которых хотя бы один из односторонних пределов f (х₀–0) или f (х₀ + 0) равен ∞.

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если эта функция определена в какой – нибудь точке х₀ и если

.

Пример 20.Исследовать на непрерывность функцию и построить график

2 при 0 х 1;

j(х) = 4 - 2х при 1< х <2;

2х – 7 при 2 х < +¥.

Решение. Неэлементарная функция j(х) определена для всех значений х 0. Она может иметь разрыв в точках х = 1 и х = 2, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция j (х) непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента х.

Исследуем непрерывность в точках х = 1 и х = 2:

j(х) = lim 2 = 2; j(x) = lim(4 - 2x) = 2.

Согласно условию, значение функции j (х) в точке х =1 определяется первой формулой: j(1) = 2 = 2. Следовательно, в точке х =1 выполняются все условия непрерывности: функция определена в окрестности точки х =1 и = = . Поэтому в точке х =1 функция j(х) непрерывна.

Здесь левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, т.е. не выполняется 2-е условие непрерывности. Поэтому в точке х=2 функция имеет разрыв (рис 7).

Скачек функции в точке разрыва конечный.

у = 4-2х

у =2x – 7

y =2

0 1 2

-3

Рис.7

Пример 21. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция непрерывна всюду, за исключением точки х₀ = 2 (т.к. элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены). Найдем пределы слева и справа при х → 2:

Следовательно, х₀ = 2 – точка разрыва II рода. Для схематического построения графика найдем предел функции на бесконечности: откуда устанавливаем, что прямая
у = 1 – горизонтальная асимптота (рис. 8).

	Рис.8