Линейные пространства


Рассмотрим множества V элементов х, y, z,… и множество Rдействительных чисел. Определим операцию сложения элементов множества V: любой упорядоченной паре элементов х Î V, y Î V поставим в соответствие третий элемент zÎ V, называемый их суммой, и запишем в виде z = x + y.

Введем также операцию умножения элементов множества V на действительные числа; каждому элементу х Î Vи действительному числу aÎR поставим в соответствие элемент z = ax = x a, где z ÎV. Потребуем, чтобы операция сложения элементов множества V и операция умножения элементов этого множества на действительные числа удовлетворяли следующим аксиомам:

  1. Сложение коммутативно, т.е. х + у = у + х для любых х Î V, y ÎV.
  2. Сложение ассоциативно, т.е. (х + у) + z = x + (у + z) для любых х Î V, yÎV, zÎV.
  3. Существует нулевой элемент, т.е. такой элемент, который в сумме с любым элементом х дает тот же элемент х; обозначим этот элемент символом 0, тогда х + 0 = х для любого х Î V.
  4. Для каждого элементах Î Vсуществует противоположный элемент, т.е. такой элемент, который в сумме с данным дает нулевой элемент; элемент, противоположный элементу х, обозначим через – х, тогда

х + (-х) = 0 для любого х Î V.

  1. Умножение на число 1 не меняет элемента, т.е. 1×х = х для любого хÎ V.

Длялюбых х, y ÎV, a, b Î R:

  1. .
  2. .
  3. .

Множество V элементов х,y,z,…, в котором определены операции сложения и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие аксиомам 1 – 8, называется действительным линейным пространством или действительным векторным пространством. Элементы действительного пространства называют векторами.

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа , не все равные нулю и такие, что

(8)

Если равенство (8) выполняется только при , то векторы называются линейно независимыми. Базисом n – мерного пространства называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства. Базис пространства V3 образует любая тройка некомпланарных векторов, так как эти векторы линейно независимы и любая четверка векторов линейно зависима.

Линейное пространства L называется n - мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а всякие n+1 векторов являются линейно зависимыми. Число n называется в этом случае размерностью линейного пространства L, которое обозначают dim L. Итак, размерность линейного пространства – это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нем. Линейное пространство, в котором имеется базис, состоящий из конечного числа векторов, называется конечномерным. Линейное пространство называется бесконечномерным, если при любом натуральном числе m в нем найдется m линейно независимых векторов.

Теорема. Если е1, е2,…, еn – базис линейного n – мерного пространства Vn, то любой вектор х этого пространства линейно выражается через базисные векторы е1, е2,…, еn, т.е.

х = . (9)

Коэффициенты a1, a2, …, an этого разложения определяются однозначно. Выражение (9) называется разложением вектора хпо базису е1, е2,…, еn. Координатами вектора х в базисе е1, е2,…, еn называются коэффициенты a1, a2, …, an в разложении этого вектора по данному базису. Координаты вектора, очевидно, зависят от выбора базиса. Координаты одного и того же вектора будут различными в разных базисах. Задача преобразования координат вектора состоит в нахождении зависимости между координатами данного вектора в разных базисах, связь между которыми известна. Формулами преобразования координат называют формулы, связывающие координаты вектора в разных базисах.

В линейном n – мерном пространстве Vn фиксируем два базиса:

е1, е2, …, еn (*)

е1*, е2*,…, еn* (**)

Матрицей перехода от базиса (*) к базису (**) называется матрица системы векторов (**) в базисе (*). Каждый вектор системы (**) можно разложить по базису (*). Пусть

тогда матрица перехода от базиса (*) к базису (**) имеет вид

А = . (10)

Матрица перехода от одного базиса к другому будет невырожденной, всякую невырожденную матрицу n – го порядка можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса линейного n – мерного пространства к другому базису этого пространства. Матрица А - 1, обратная матрице (10), является матрицей перехода от базиса (**) к базису (*).

Теорема.Если х1, х2,…, хn - координаты вектора х в базисе

е1, е2, …, еn, х1*, х2*,…, хn* - координаты того же вектора в базисе е1*, е2*,…, еn* то Х = АХ*, где

,

А – матрица перехода от базиса е1, е2, …, еn к базису е1*, е2*,…, еn*.

Пример 12.Доказать, что векторы е1 = (1,3,-2), е2 = (2,-5,1),

е3 = (1,3,-1) образуют базис в R3 и найти координаты вектора х= (1,2,3) в этом базисе.

Решение.

Проверим, что векторы е123 линейно независимы. Проверяем равенство (8), оно равносильно системе линейных уравнений

Вычислим определитель

Определитель отличен от нуля, следовательно, система имеет единственное решение: . Поэтому векторы е1, е2, е3 линейно независимы. Обозначим через В = матрицу перехода от старого базиса к новому. Найдем В-1:

D= -11, В11 = 2, В21 = 3, В31 =11, В12 = -3, В22 = 1, В32 = 0, В13 = -7, В23 = -5, В33 = -11. .

Откуда , т.е.

x= .

 

3.2.Линейные преобразования.

Если указано правило, по которому каждому вектору х линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то говорят, что в нем задано преобразование f.

Преобразование fлинейного пространства V называется линейным преобразованием, если для любых векторов этого пространства х1, х2. х3 и любого действительного числа l выполняются следующие условия:

1) f(x1+x2)= f(x1)+f(x2);

2) f(lx)= lf(x).

Линейные преобразования полностью характеризуются его матрицей. Поэтому действия над такими преобразованиями сводятся к действиям над матрицами. Например, если вектор х переводится в вектор у линейным преобразованием с матрицей А, а вектор у переводится в вектор zлинейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному же преобразованию, переводящему вектор х в вектор z. Матрица этого линейного преобразования С = АВ.

Ненулевой вектор х линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования f этого пространства, если существует число k такое, что

f(x) = kx,

причем k - действительное число для действительного линейного пространства и комплексное число в случае комплексного пространства. Число k называют собственным значением вектора х относительно преобразования f.Данное равенство можно записать в матричной форме:

АХ = kХ,

где А – матрица преобразования f в некотором базисе; Х – матрица- столбец из координат собственного вектора х в том же базисе.

Собственные векторы и собственные значения обладают следующими свойствами:

1. Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное значение к.

2. Если х– собственный вектор линейного преобразования f с собственным числом к и l - любое, отличное от нуля число, то – также собственный вектор преобразования f с собственным значением к.

3. Если х и у – линейно независимые собственные векторы линейного преобразования f c одним и тем же собственным значением к, то х +у – также собственный вектор этого преобразования с собственным значением к.

Собственными значениями линейного преобразования действительного пространства являются только действительные корни характеристического уравнения.

 

Пример 13.Найти действительные собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

А = .

Решение. Составляем характеристическое уравнение матрицы А

или а3- 5а2 +17а - 13 = 0.

Разложим на множители многочлен в левой части уравнения:

а3-5а2+17а -13 = а3- а2 - 4а2 + 4а +13а -13 = а2(а -1) - 4а(а-1) + 13(а-1) =

= (а -1)(а2 - а +13). Уравнение примет вид (а-1)(а2 - 4а +13) = 0, откуда а1 = 1, а2 = 2 -3i, а3 = 2 +3i. Следовательно, линейное преобразование с данной матрицей имеет только одно действительное собственное значение а = 1.

Для отыскания соответствующего собственного вектора составляем систему уравнений:

при а = 1.

Решая данную систему, находим х = z, х = 2z. Полагая z = 1, получаем собственный вектор: х = (1, 2, 1).

 



Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 418;


Поиск по сайту:

Воспользовавшись поиском можно найти нужную информацию на сайте.

Поделитесь с друзьями:

Считаете данную информацию полезной, тогда расскажите друзьям в соц. сетях.
Poznayka.org - Познайка.Орг - 2016-2024 год. Материал предоставляется для ознакомительных и учебных целей.
Генерация страницы за: 0.016 сек.