Элементы векторной алгебры

2.1. Векторы, основные понятия.

1. Нахождение модуля вектора а = (х,у,z):

a) Нахождение координат вектора по двум точкам А (х_а,у_а,z_a) и

В (х_в,у_в,z_в): (х_в- х_а, у_в- у_а,z_в- z_a).

3. Если С- середина отрезка АВ, то

х _с = , .

4. Проекция вектора на ось: пр_l АВ= , где j - угол между вектором АВ и ось l.

5. Направляющие косинусы вектора. Пусть - углы, которые образует вектор =(х,у,z) с координатными осями. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами:

.

2.2. Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

.

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) переместительным ;

2) сочетательным ;

3) распределительным ;

4) скалярным квадратом ;

5) если векторы перпендикулярны, то .

Если даны векторы и , то их скалярное произведение можно вычислить по формуле

( .

Углом между двумя векторами и называют угол φ (0≤φ≤ π), определяемый из уравнения

(7)

cosφ = .

2.3. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор :

а) ;

б) вектор перпендикулярен к плоскости параллелограмма,

построенного на векторах аи в как на сторонах;

в) направлен так, что кратчайшее вращение вектора к вектору мы наблюдаем с конца вектора совершающимся против часовой стрелки (говорят также, что , , – правая связка).

Векторное произведение обозначают = .

Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1) ;

2) ;

3) ;

4) если векторы коллинеарны, то .

Если и , то = можно вычислить по формуле

=

где , , - единичные векторы, направленные соответственно по осям Ох₁, Ох₂, Ох₃ (естественный базис в R³).

Площадь треугольника АВС определяется по формуле

S = .