Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение вектора на вектор , то есть

( , , ) = ( , ).

Смешанное произведение обладает свойствами:

1) если поменять местами два вектора, то смешанное произведение изменит знак;

2) ели векторы менять в круговом порядке, то смешанное произведение не изменится;

3) если векторы , , компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Если векторы , , заданы своими проекциями, то получим

( , , ) = а₁ .

Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах: V = . Объем пирамиды, построенной на векторах , , равен

V _пир = .

Пример 10.Даны вершины треугольника А(1,-2,4); В (-1,2,0); С(3,-2,1). Найти: а) внутренний угол при вершине В; б) пр _вс (АВ - 2АС).

Решение:

а) Составим векторы ВА = (2, -4, 4), ВС = (4, -4, 1), тогда используя формулу (7), получим .

б) АВ - 2АС = (-2, 4, -4) - 2( 2, 0, -3) = (-6, 4, 2). Следовательно,

пр _вс (АВ -2АС) =

Пример 11. Даны координаты вершин пирамиды АВСД:

А(0;-1;2), B(1;-2;3), C(-1;2;-1), Д(4;1;2). Найти:

1) площадь основания ABC;

2) объем пирамиды.

Решение:

1. Вычислим векторное произведение , для этого находим векторы: АВ = = ,

АС = .

= = 2j + 2k;

S = =

2. Найдем вектор АД = {4; -2; 0} и смешанное произведение (АВ,АС,АД):

;

V =