Основные правила дифференцирования

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

(14)

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй на производную первой, т. е.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной .

Производная частного двух дифференцируемых функций определяется формулой

Производная сложной функции.Если y = f(u) и u = φ(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(φ(x)) существует и равна производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

. (15)

Производная обратной функции.Если y = f(x) и x = φ(y) – взаимно обратные дифференцируемые функции и , то

.

Если функция задана параметрически, то есть уравнениями

, где – дифференцируемые функции и то её производная определяется формулой

Основные формулы дифференцирования. Если – дифференцируемая функция, то:

; (16)

(17)

(18)

(19)

(20)

Пример 22. Найти производную функции .

Решение. Считая и применяя формулу (16), получаем

Пример 23. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулу (17), находим

Пример 24. Найти производную функции .

Решение. Применяем формулу (15), находим

Пример 25. Найти производную функции .

Решение. Так как , , , , то по формуле

(15) получаем ,

Пример 26. Найти производную функции .

Решение. Применяя формулы (15) и (18), находим

Пример 27. Найти производную функции .

Решение. На основании формул (15), (19), (14) получаем

Пример 28. Найти производную функцию, заданную уравнением

Решение. Это уравнение определяет функцию от Подставляя функцию в данное уравнение, получаем тождество

Дифференцируем это тождество и из полученного уравнения находим

Пример 29. Найти производную функцию, заданную уравнениями

Решение. Эта функция задана параметрически. Так как то по формуле (10) получаем

Пример 30. Найти производную функции .

Решение. Логарифмируя это равенство по основанию е, получаем Дифференцируя, находим откуда

Дифференциал функции. Если приращение функции представимо в виде

Dу = АDх+ о (Dх),

где А – постоянная, о (Dх) – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с Dх, то слагаемое АDх называют дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают dy; функцию в этом случае называют дифференцируемой в точке х₀.

Так как dx = Dх, то dy = f ¢ (х)dx .

Дифференциалы и производные высших порядков. Производной n – го порядка f ⁿ (x) называется производная от производной (n - 1) – го порядка.Дифференциалом n – го порядка d ⁿy называется дифференциал от дифференциала ( n-1) – го порядка как функции х:

d ⁿy = d (d ⁿ^-1 y).

Правило Лопиталя – Бернулли. Если функции f(x) и φ(x), дифференцируемые в окрестности точки x=a обращаются в нуль и существует предел отношения f´(x)/φ´(x) при x→a, то существует предел отношения самих функций и

Замечание. Если f´(a) = 0, φ´(a) = 0, функции f´(x), φ´(x) дифференцируемы в окрестности точки x=a и существует предел отношения f´´(x)/φ´´(x) при x→а, то

.

С помощью тождественных преобразований к основному виду или можно свести неопределённости других видов, таких, как

Пример 31. Найти .

Решение. При числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределённость вида . Чтобы раскрыть её, применяем правило Лопиталя-Бернулли:

Пример 32. Найти .

Решение. При получаем неопределённость вида

Обозначим и прологарифмируем это равенство по основанию е:

В правой части этого равенства при имеем неопределённость вида Применяя дважды правило Лопиталя-Бернулли, находим

Следовательно,

<2 3 4 5 678 >

Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 386;