Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

или

.

Дифференциальные уравнения классифицируются как

· Линейные, например ;

· нелинейные, например .

В свою очередь линейные ДУ делятся на

· однородные ;

· неоднородные , где - произвольная непрерывная функция времени. Если , уравнение становится однородным.

Если ДУ первого порядка , можно разрешить относительно , то, как правило, оно представляется в виде

.

(7.10)

Для непрерывных в некоторой области функций и уравнение (7.10) имеет бесконечное множество решений. Общим решением уравнения (7.10) является некоторая функция .

Существует частное решение уравнения (7.10), удовлетворяющее условию

.

(7.11)

Числа называются начальными значениями для решения , а соотношение (7.11) - начальным условием этого решения. Решение , удовлетворяющее начальным значениям , называется частным решением ДУ.

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

.

(7.12)

.

Относительно производной уравнение (7.12) преобразуется к виду

.

Общее решение этого уравнения с разделяющимися переменными

,

(7.13)

где С - произвольное действительное число.

Геометрически на плоскости общее решение ДУ (рис. 7.10) представляется семейством кривых, каждая из которых соответствует различным начальным условиям.

Пример. Найти общее и частное решение дифференциального уравнения при заданных начальных значениях , .

Преобразуем уравнение к виду (7.10): .

Общее решение

По условию известно, что при , , тогда , откуда . Частное решение исходного ДУ .