Устойчивость решения систем дифференциальных уравнений
Решение системы уравнений вида
![]() | (7.19) |
соответствующее начальным условиям , называется устойчивым по Ляпунову, если для любого
можно найти такое
, что из неравенства
будет следовать неравенство
для всех
, где
,
- решения, соответствующие начальным условиям
,
.
Другими словами, система уравнений устойчива, если малое изменение начальных условий не вызывает больших изменений решения.
В общем случае анализ устойчивости дифференциальных уравнений является сложной задачей, однако для систем линейных дифференциальных уравнений критерий устойчивости решений получается достаточно просто.
Поскольку решение системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде (7.17), то каждая неизвестная функция есть линейная комбинация экспонент собственных значений, умноженных на время
![]() | (7.20) |
где - коэффициенты, определяемые начальными условиями и матрицей системы уравнений.
Возьмем для простоты одну экспоненту =
и рассмотрим условия, при которых она обеспечивает устойчивое решение. Возможны следующие варианты.
1. l- вещественное положительное число не равное нулю. В этом случае решение апериодически неустойчиво (рис. 7.11, а), поскольку даже при самом малом изменении начального условия (С,0) с увеличением t разность может стать сколь угодно большой
2. l - вещественное отрицательное число. ,
. В этом случае решение апериодически устойчиво (рис. 7.11, б).
3. .
. Граничный случай, промежуточное состояние между устойчивым и неустойчивым (рис. 7.11, в).
![]() |
4. l - комплексное число.
При решении характеристического уравнения комплексные корни могут появляться только комплексно-сопряженными парами, поэтому в сумме (7.20) имеются члены вида
,
где и
- вещественная и мнимая части коэффициента r;
и
- вещественная и мнимая части собственного числа l.
С учетом соотношения последнее выражение может быть преобразовано к виду
или ,
где R - амплитуда колебаний при ,
- начальная фаза колебаний, величины, определяемые начальными условиями.
Нетрудно видеть, что устойчивость ДУ определяется экспоненциальной составляющей. При этом возможны следующие ситуации.
1. . Решение колебательно неустойчиво (рис. 7.12, а).
2. . Решение устойчиво, затухание колебательное (рис. 7.12, б).
3. . Граничный случай - незатухающие колебания (рис. 7.12, в).
![]() |
На основании выполненного анализа можно сделать вывод, что решение системы линейных уравнений вида (7.19) будет устойчиво, если все собственные числа матрицы А имеют отрицательные вещественные части.
Пример. Сделать вывод об устойчивости решения дифференциального уравнения
.
Представленному ДУ поставим в соответствие характеристическое уравнение
.
Найдем корни характеристического уравнения
;
.
Получено три корня, один из которых является положительным и вещественным (данный корень соответствует апериодическому неустойчивому решению, рис. 7.11,а), а два оставшихся - чисто мнимые комплексно-сопряженные корни (соответствуют границе колебательной устойчивости, рис. 7.12, в). Общее решение заданного ДУ является неустойчивым.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 542;