Дифференциальные уравнения и методы их решения

Общие положения

Режимы электроэнергетических систем, как правило, описываются динамическими процессами, где вектор параметров (напряжения, токи, мощности) является функцией времени. При анализе таких процессов рассматривается взаимосвязь между и его производными, в результате чего формируется система дифференциальных уравнений.

Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение, содержащее анализируемые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

Если производные, входящие в уравнение, берутся по одному переменному (например, время), то такие ДУ называются обыкновенными.

Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Далее будут рассматриваться обыкновенные дифференциальные уравнения.

Для физических процессов независимым параметром, по которому ведется дифференцирование, чаще всего, является время t. Обыкновенное ДУ представляется в виде

.

Порядк ДУ определяется порядком наивысшей производной.

Решением ДУ называется всякая функция , при подстановке которой в уравнение, последнее превращается в тождество.

Можно выделить две основные задачи решения ДУ:

· определение значений в некоторый период времени при заданных начальных условиях (задача Коши);

· качественный анализ поведения переменной , т.е. получение суждения о свойствах процесса без определения самих решений. Эта задача называется задачей анализа устойчивости уравнений.

В соответствии с разными целями и видами уравнений применяются следующие методы (способы) решения ДУ:

аналитический метод позволяет получить аналитическую запись выражения . Этот способ всегда предпочтителен, так как он позволяет определить точное выражение ;

качественные методы на основе заданных критериев позволяют судить о характере решения ДУ без получения точного решения;

численные методы - решение представляется в виде некоторого набора приближенных значений функции через заданные промежутки времени .

Численные методы позволяют получать решения любых ДУ и широко используются в практике.