Дифференциальные уравнения и методы их решения
Общие положения
Режимы электроэнергетических систем, как правило, описываются динамическими процессами, где вектор параметров (напряжения, токи, мощности) является функцией времени. При анализе таких процессов рассматривается взаимосвязь между и его производными, в результате чего формируется система дифференциальных уравнений.
Дифференциальное уравнение (ДУ) - это уравнение, содержащее анализируемые функции, их производные различных порядков и независимые переменные.
Если производные, входящие в уравнение, берутся по одному переменному (например, время), то такие ДУ называются обыкновенными.
Если в уравнении встречаются производные по нескольким переменным, то такие уравнения называются дифференциальными уравнениями в частных производных. Далее будут рассматриваться обыкновенные дифференциальные уравнения.
Для физических процессов независимым параметром, по которому ведется дифференцирование, чаще всего, является время t. Обыкновенное ДУ представляется в виде
.
Порядк ДУ определяется порядком наивысшей производной.
Решением ДУ называется всякая функция , при подстановке которой в уравнение, последнее превращается в тождество.
Можно выделить две основные задачи решения ДУ:
· определение значений в некоторый период времени при заданных начальных условиях (задача Коши);
· качественный анализ поведения переменной , т.е. получение суждения о свойствах процесса без определения самих решений. Эта задача называется задачей анализа устойчивости уравнений.
В соответствии с разными целями и видами уравнений применяются следующие методы (способы) решения ДУ:
аналитический метод позволяет получить аналитическую запись выражения . Этот способ всегда предпочтителен, так как он позволяет определить точное выражение ;
качественные методы на основе заданных критериев позволяют судить о характере решения ДУ без получения точного решения;
численные методы - решение представляется в виде некоторого набора приближенных значений функции через заданные промежутки времени .
Численные методы позволяют получать решения любых ДУ и широко используются в практике.
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 507;