Автономные системы, символические уравнения Вопрос 2

Общей теории нелинейных систем нет, поэтому рассматривают частные случаи, например, если система содержит безынерциальный нелинейный элемент и линейную инерциальную подсистему. На рис. 7 показана такая система, для которой

Рис. 7.

,  , где f - некоторая функция, - линейный дифференциальный оператор.

Для анализа этой системы (для составления описывающего её уравнения) можно воспользоваться методом символических уравнений. Для этого формально записываются законы Кирхгофа в операторной форме, но вместо изображений токов и напряжений по Лапласу записываются их линейные значения, причём линейные элементы описываются операторным сопротивлением, а нелинейные - своей ВАХ. Полученные уравнения рассматриваются как алгебраические относительно p и преобразовываются так, чтобы p не было в знаменателе; после p заменяется оператором дифференцирования, т. е. .

Применим это правило к генератору на туннельном диоде (рис. 8). Чтобы пошла генерация, необходимо рабочую точку вынести в область отрицательного дифференциального сопротивления (как показано на рис. 9).

Рис. 8. Генератор на туннельном диоде.

Рис. 9. ВАХ туннельного диода.

Будем действовать по правилу, составим формальное уравнение:

.

Найдём операторное сопротивление контура (линейной инерциальной подсистемы), обведённого штриховой линией на рис. 8: здесь последовательное соединение индуктивности и сопротивления в параллель с конденсатором, т. е.

.

Введём другие обобщённые координаты (относительно рабочей точки):

,

тогда можно записать:

.

(1.13)

Символическое уравнение цепи в общем случае имеет вид:

,

(1.14)

т. е. полученное уравнение (1.13) удовлетворяет условию (1.14). Дальше получаем ДУ:

;

причём, так как генератор будет работать в области выбранной нами рабочей точки, то можно приблизительно заменить i(u) на i₀, тогда

.

Рассмотрим генератор на транзисторе, представленный на рис. 10. Линейной подсистемой в

Рис. 10. Генератор на транзисторе.	этом генераторе является резонансный контур. Запишем несколько соотношений, которые легко получаются, если немного приглядеться к схеме: , , ; и сведём их к одному уравнению: . Из последнего уравнения следует равенство:
.	(1.15)
Как видно, уравнения (1.15) и (1.13) похожи - это один из примеров изоморфизма колебательных систем, поэтому можно зарисовать обобщённую структуру генератора (рис. 11). Часто вместо Z(p) используют так

называемую трёхточечную схему (рис. 12). В этом случае общее уравнение генератора на управляемом источнике, охваченного обратной связью через линейный четырёхполюсник (рис. 11) имеет вид:

,

(1.16)

где (для трёхточечной схемы) операторное сопротивление:

.

(1.17)

В качестве примеров рассмотрим генератор с автотрансформаторной связью (рис. 13) и схему Колпитца (рис. 14). Подставив соответствующие Z₁(p), Z₂(p) и Z₃(p) в уравнение (1.17) получим следующие операторные сопротивления:

, где ,

(1.18)

для генератора с автотрансформаторной связью (индуктивной трёхточки);

, где

(1.19)

для схемы Колпитца (емкостной трёхточки).

Рис. 11. Общая структура генератора.

Рис. 12. Трёхточечная схема.

Подставляя (1.18) и (1.19) в уравнение (1.16), получим ДУ, описывающие колебательные процессы в индуктивной трёхточке:

,

(1.20)

и в емкостной трёхточке:

.

(1.21)

Также рассмотрим мост Вина (рис. 15), который используется для генерации в области звуковых частот.

Рис. 13. Индуктивная трёхточка.

Рис. 14. Емкостная трёхточка.

Операторное сопротивление такого генератора равно

.	(1.22)	Рис. 15. Мост Вина.
Опять подставляя уравнение для операторного сопротивления в (1.16), получим ДУ этого контура:
.	(1.23)
Все рассмотренные генераторы являются активными, нелинейными, автономными системами.