Аналитический метод решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений

Рассматривается система линейных однородных дифференциальных уравнений (СЛДУ) первого порядка

.

(7.14)

Система (7.14), когда в левой части уравнений стоят производные, а правая часть производных не содержит, называется нормальной. Путем замены переменных (например, ) к нормальному виду может быть приведена любая нелинейная система ДУ с производными высших порядков.

В матричной форме записи система (7.14) может быть представлена уравнением:

,

(7.15)

где

; ; .

Пример. Привести к нормальной форме записи уравнение вида

.

Выполним замену переменных , , тогда исходное ДУ преобразуется в систему

Эта система может быть представлена в виде, приемлемом для матричной формы

Принимая во внимание, что любая матрица является отражением линейного преобразования, можно заметить, что система ДУ ставит в соответствие вектору переменных вектор производных (образ исходного вектора), . Далее этот тезис будет расширен.

В разделе 7.5 было сказано, что существует такой базис (система собственных векторов ), где матрица линейного преобразования является диагональной . В базисе . Нетрудно получить решение представленных ДУ. Оно имеет вид

,

(7.16)

или в матричной форме

,

где - функциональная матрица (квадратная, порядка n), диагональными элементами которой являются экспоненциальные функции , , а недиагональные элементы равны нулю.

.

Учитывая преобразования перехода к старому базису, получаем

,

(7.17)

где Н - матрица, состоящая из собственных векторов .

При t=0 матрица преобразуется в единичную, В результате получаем

.

Окончательно, решение СЛДУ

(7.18)

Пример. Найти решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений

с начальными условиями : , ,.

Матрица А имеет вид: . Для нахождения собственных чисел составим характеристический определитель

.

Найдем корни характеристического уравнения , которые одновременно являются собственными числами матрицы А: и .

Определим собственные вектора.

Для характеристическая матрица имеет вид

.

Строки полученной матрицы являются линейно-зависимыми. Решим систему уравнений для определения первого собственного вектора

при получим значение , тогда .

Аналогично определим второй собственный вектор .

Матрица имеет вид , а обратная к ней

.

Решение рассматриваемой системы дифференциальных уравнений получается в виде (7.18),

или .