Обособленность матрицы и точность решения СЛУ
Одной из областей использования линейных преобразований пространства и аппарата собственных чисел и собственных векторов является анализ чувствительности решений СЛУ и сходимости итерационных процессов.
Рассмотрим СЛУ . Вектор правой части СЛУ обычно представляет некоторую совокупность исходных или расчетных данных, которыми описываются реальные технические или физические величины, поэтому реально он обладает некоторой погрешностью . Отсюда и решение СЛУ также будет обладать погрешностью .
В этих условиях СЛУ следует рассматривать в виде
.
Эту систему уравнений можно разделить на две:
Данные матричные уравнения отражают линейное преобразование с матрицей . При этом . В зависимости от направления и получается та или иная погрешность результирующего вектора .
Рассмотрим крайние случаи.
1. Вектор совпадает с первым собственным вектором (соответствующим ), а с минимальным собственным вектором (соответствующим ), , . Отсюда относительная погрешность решения
,
где - так называемое число (Тодда) обусловленности матрицы. Таким образом, в рассматриваемом случае погрешность решения больше, нежели погрешность правой части СЛУ и тем больше, чем больше число обусловленности матрицы.
Число обусловленности матрицы характеризует:
· максимально возможную относительную погрешность решения СЛУ;
· чувствительность решения задачи к погрешности входных данных.
· степень вырожденности СЛУ (т.е. близость ее к линейно-зависимым). Чем ближе СЛУ к линейно-зависимым, тем больше число обусловленности r, если det (A)®0, то это значит , а ;
2. Вектор совпадает с , а D с , , . Отсюда относительная погрешность решения
.
Здесь погрешность исходных данных мало влияет на погрешность решения.
Обобщая рассмотренные крайние случаи, получаем
.
Вычисление и весьма сложно. Поэтому часто используют оценку обусловленности с помощью норм: .
Если - собственные числа обратной матрицы . Тогда
; .
Дата добавления: 2020-07-18; просмотров: 497;