Практический пример

Рассмотрим следующую задачу. Проводится конкурс на реализацию двух проектов, в котором участвует два претендента – конструкторское бюро 1 (КБ1), имеющее 4 отдела, и конструкторское бюро 2 (КБ2), имеющее 3 отдела. Финансирование первого проекта – a денежных единиц, второго – b. Практика проведения данного конкурса показывает, что, как правило, проект достаётся тому КБ, которое выделяет большее число отделов на его выполнение. Если каждое КБ выделяет одинаковое число отделов на выполнение проекта, то они имеют одинаковую вероятность на его получение. Требуется определить, сколько отделов следует выделить каждому КБ на выполнение первого и второго проектов с целью максимизации их финансирования.

Если в качестве стратегии КБ взять пару (a, b), где a и b – количество отделов, выделяемых соответственно под первый и второй проекты, то у КБ1 (игрока A) имеется 5 стратегий: A₁=(4; 0), A₂=(3; 1), A₃=(2; 2), A₄=(1; 3), A₅=(0; 4), а у КБ2 (игрока B) – 4 стратегии: B₁=(3; 0), B₂=(2; 1), B₃=(1; 2), B₄=(0; 3).

Так как целью каждого из игроков является максимизация собственного выигрыша (возможного финансирования), то соответствующая парная игра G(5´4)не является антагонистической (выигрыш одного игрока не равен проигрышу другого).

Для того чтобы свести данную игру к антагонистической необходимо из выигрышей a_ij игрока A вычесть средний выигрыш – (a + b)/2. В итоге получим антагонистическую игру G(5´4), представленную табл. 3.14.

Таблица 3.14

Рассмотрим случай а = b, представленный табл. 3.15. Упростим игру, удалив доминируемые и дублируемые стратегии A₁, A₅, B₂, B₃, A₃. Получим игру G(2´2), представленную табл. 3.16.

Таблица 3.15

Bj Ai	В1	В2	В3	В4
А1	a / 2
А2	a / 2	a / 2
А3		a / 2	a / 2
А4			a / 2	a / 2
А5				a / 2

Таблица 3.16

Bj Ai	В1	В4
А2	a / 2
А4		a / 2

Решив данную игру, например, методом Лагранжа, получим: p₂= p₄=0,5; q₁= q₄=0,5; V = a/4.

Тогда для исходной игры G(5´4)решением будет: S_A =(0,0; 0,5; 0,0; 0,5; 0,0), S_B =(0,5; 0,0; 0,0; 0,5), V_КБ1= a / 4 + a =5a / 4, V_КБ2=3a / 4.

Полученный результат означает, что КБ1 рекомендуется использовать равновероятно стратегии A₂или A₄, т.е. распределить отделы между проектами в соотношении 3 к 1 или 1 к 3 с ожидаемым финансированием 5a / 4, а КБ2 – стратегии B₁или B₄, т.е. направить все усилия (отделы) на выполнение одного из проектов с ожидаемым финансированием 3a / 4.

3.5. Контрольные вопросы к разделу 3

1. Приведите общий вид матричного представления антагонистической игры.

2. Дайте определения нижней и верхней оценки цены игры.

3. Сформулируйте лемму 3.1.

4. Дайте доказательство леммы 3.1.

5. Дайте определения седловой точки, оптимальных чистых стратегий игроков, решения игры.

6. Сформулируйте теорему 3.1.

7. Дайте определение смешанной стратегии.

8. Сформулируйте теорему 3.2.

9. Сформулируйте отношения предпочтения и безразличия на множестве стратегий.

10. Сформулируйте лемму 3.2.

11. Поясните метод Лагранжа.

12. Найдите решение игры G(3´3)в общем виде, используя метод Лагранжа.

13. Решите методом Лагранжа игру G(3´3), представленную следующей матрицей:

Bj Ai	B1	B2	B3
A1
A2
A3

14. Поясните метод линейного программирования.

15. Назовите основной недостаток точных методов поиска решения.

16. Поясните приближенный (итерационный) метод Брауна-Робинсона.

17. Рассмотрите задачу о конкурсе на реализацию проектов для случаев а = 2b и а = b / 2.