Метод линейного программирования
Данный метод также относится к точным методам решения матричных игр и применим к игре G(m´n)при условии, что все элементы матрицы игры aij, i =1, …, m, j =1, …, n, положительны (этого легко добиться прибавлением ко всем элементам матрицы положительной константы, большей, чем модуль наименьшего отрицательного элемента или нуля, если отрицательных элементов нет).
Рассмотрим ситуацию, когда игрок A применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок B последовательно отвечает своими чистыми стратегиями B1, …, Bn. Поскольку оптимальные стратегии обладают свойством устойчивости, то справедлива следующая система неравенств:
(3.2)
Введем новые переменные:
.
Система неравенств (3.2) теперь примет вид:
(3.3)
Так целью игры для игрока A является максимизация цены игры V, то получаем задачу линейного программирования:
при системе ограничений (3.3).
Решив эту задачу, найдем цену игры V и вероятности pi в оптимальной смешанной стратегии SA =(pi), i =1,…,m,игрока A:
.
Аналогичные построения проводятся и для игрока B, учитывая, что целью игрока B является минимизация цены игры V.
В итоге получим следующую задачу линейного программирования:
при системе ограничений
.
Решив данную задачу, найдем вероятности qj в оптимальной смешанной стратегии SB =(qj), j =1, …, n,игрока B.
В [5] доказано, что сформулированные задачи являются двойственными задачами линейного программирования, т.е. минимум линейной формы для одной из них совпадает с максимумом для другой. Для решения данных задач можно использовать, например, симплекс-метод.
Дата добавления: 2020-06-09; просмотров: 451;