Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида

y⁽ⁿ⁾=f(x)

Его общее решение находится путем n последовательных интегрирований. При каждом интегрировании будет вводиться своя произвольная постоянная, так что решение, как и должно быть, будет зависеть от n произвольных постоянных.

Поясним метод решения примером. Пусть . Тогда . Интегрируя еще раз, получим .

Если в задаче есть начальные условия, заданные при x=x₀, то нижний предел интегрирования удобно брать равным x₀. Тогда константы интегрирования находятся особенно просто.

Пусть в нашем примере решение удовлетворяет начальным условиям , . Тогда из первого условия находим С₂=0, из второго – С₁=1 , и соответствующее частное решение .

Для уравнений второго порядка имеются часто встречающиеся на практике частные случаи, когда их интегрирование сводится к последовательному интегрированию двух уравнений первого порядка.

Первый случай. Уравнение не содержит явно искомой функции y, т.е. имеет вид

F(x, y’, y”)=0. (3.4)

В этом случае надо ввести новую неизвестную функцию z=z(x) независимой переменной x, положив y’=z. Тогда y”=z’ и (3.4) принимает вид F(x, z, z’)=0,т.е. оказывается уравнением 1-го порядка относительно z. Решив его, найдем z=j(x,C₁), т.е. y’=j(x,C₁). Тогда -общее решение уравнения (3.4).

Пример 3.1. Решить уравнение .

Рассматриваемое уравнение не содержит искомой функции . В результате замены , получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка

.

Его решение есть . Тогда

.

Второй случай. Уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. имеет вид

F(y, y’, y”)=0. (3.5)

В этом случае надо за новую независимую переменную принять y, и ввести новую неизвестную функцию z=z(y) переменной y, определенную соотношением .

Тогда и уравнение (3.5) преобразуется в уравнение 1-го порядка F(y, z, )=0. Решив его, найдем z=j(y,C₁), т.е. . Разделяя переменные, получим , . Это общий интеграл уравнения (3.5).

Пример 3.2.Решить уравнение .

Данное уравнение не содержит независимый аргумент . Полагая , получим или . Это дифференциальное уравнение распадается на два: , .

Первое из них дает , т.е. .

Во втором переменные разделяются: , откуда , т.е. . Т.к. , то и , т.е. (заменяя и на - и - )

. (3.6)

Это общее решение нашего дифференциального уравнения. Отметим. что найденное ранее решение содержится в (3.6), т.к. получается из (3.6) при .

Линейные уравнения

<6 7 8910 11 12 >

Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 440;