Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка
Простейшим уравнением n-го порядка является уравнение вида
y(n)=f(x)
Его общее решение находится путем n последовательных интегрирований. При каждом интегрировании будет вводиться своя произвольная постоянная, так что решение, как и должно быть, будет зависеть от n произвольных постоянных.
Поясним метод решения примером. Пусть 
. Тогда 
. Интегрируя еще раз, получим 
.
Если в задаче есть начальные условия, заданные при x=x0, то нижний предел интегрирования удобно брать равным x0. Тогда константы интегрирования находятся особенно просто.
Пусть в нашем примере решение удовлетворяет начальным условиям 
, 
. Тогда из первого условия находим С2=0, из второго – С1=1 , и соответствующее частное решение 
.
Для уравнений второго порядка имеются часто встречающиеся на практике частные случаи, когда их интегрирование сводится к последовательному интегрированию двух уравнений первого порядка.
Первый случай. Уравнение не содержит явно искомой функции y, т.е. имеет вид
F(x, y’, y”)=0. (3.4)
В этом случае надо ввести новую неизвестную функцию z=z(x) независимой переменной x, положив y’=z. Тогда y”=z’ и (3.4) принимает вид F(x, z, z’)=0,т.е. оказывается уравнением 1-го порядка относительно z. Решив его, найдем z=j(x,C1), т.е. y’=j(x,C1). Тогда 
-общее решение уравнения (3.4).
Пример 3.1. Решить уравнение 
.
Рассматриваемое уравнение не содержит искомой функции 
. В результате замены 
, получим линейное дифференциальное уравнение первого порядка
.
Его решение есть 
. Тогда
.
Второй случай. Уравнение не содержит явно независимой переменной x, т.е. имеет вид
F(y, y’, y”)=0. (3.5)
В этом случае надо за новую независимую переменную принять y, и ввести новую неизвестную функцию z=z(y) переменной y, определенную соотношением 
.
Тогда 
и уравнение (3.5) преобразуется в уравнение 1-го порядка F(y, z, 
)=0. Решив его, найдем z=j(y,C1), т.е. 
. Разделяя переменные, получим 
, 
. Это общий интеграл уравнения (3.5).
Пример 3.2.Решить уравнение 
.
Данное уравнение не содержит независимый аргумент 
. Полагая 
, получим 
или 
. Это дифференциальное уравнение распадается на два: 
, 
.
Первое из них дает 
, т.е. 
.
Во втором переменные разделяются: 
, откуда 
, т.е. 
. Т.к. 
, то 
и 
, т.е. (заменяя 
и 
на - и - )
. (3.6)
Это общее решение нашего дифференциального уравнения. Отметим. что найденное ранее решение содержится в (3.6), т.к. получается из (3.6) при 
.
Линейные уравнения
Дата добавления: 2020-05-20; просмотров: 479;
Поиск по сайту
Узнать еще
- II. Шкала порядка (шкала рангов)
- Абсолютные и дифференциальные вихретоковые преобразователи
- АКЦЕНТ НА ПОТРЕБНОСТИ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
- Алгоритм исчисления порядка
- Апериодическое звено второго порядка
- Апериодическое звено второго порядка.
- Взаимное расположение линии второго порядка и прямой
- Взаимосвязь определителей большего и меньшего порядка. Разложение по строке.
Публикации по технике и механике
Публикации по биологии
Публикации по информатике
Публикации по строительству
Публикации по физике
Публикации по химии
Публикации по электронике
Публикации по искусству
Публикации по географии
Публикации по медицине
